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格蕴涵代数及其乘积结构研究

赵丽  
【摘要】:格蕴涵代数是格值命题逻辑与格值一阶逻辑的一类真值域。基于已有的研究工作本文主要探讨了格蕴涵代数的对偶性、对偶原子、由布尔元生成的滤子,乘积格蕴涵代数,完善了格蕴涵代数的相关结论。本文取得的主要成果如下: 1.给出了格蕴涵代数的对偶原理,并通过一些对偶概念、定理展示了对偶过程的操作细节; 2.完善了文献[37]、[39]中的相关结论,得到: (1)在文献[39]中,结论“设a为格蕴涵代数(?)的唯一对偶原子,ord(a)=p(有限)并且M={a"|n=0,1,..., p}。若b→x=b→y ((?)x,b∈A,y∈L),则x=y”并不成立。 (2)若a为有限格蕴涵代数(?)唯一的对偶原子且ord(a)=p(有限),则 (3)若a为有限格蕴涵代数(?)唯一的对偶原子且ord(a)=p(有限),财(?)≌(?)(p)”。 (4)在expression4.1.4 3.得到了对偶原子的一些性质,如:有限格蕴涵代数是链的充分必要条件为tnt=O对于该格蕴涵代数中的任意对偶原子t都成立,其中ord(t)=n1(有限);在乘积格蕴涵代数(?)1×(?)2中,Dat(L1×L2)={(a1, a2)|a1=I1, a2∈Dat(L2); a1∈Dat(L1), a2=I2},其中Dat(L)是格蕴涵代数(?)中对偶原子的集合; 4.得到了由布尔元生成的滤子的两种等价表示形式,即“如果x是格蕴涵代数L=(L,∨,∧,',→, O, I)的一个布尔元,则[x)={y|y≥x,y∈L}={w|a→x=w, a∈L}";此外,给出了乘积格蕴涵代数(?)1×(?)2中的布尔元与分量格蕴涵代数(?)1,(?)2中布尔元之间的关系,即B(L1×L2)={(x1,x2)|x1∈B(L1),x2∈B(L2)},其中B((?))是格蕴涵代数(?)中布尔元的集合; 5.得到了乘积格蕴涵代数(?)1×(?)2中各类滤子(包括关联滤子、真滤、素滤、超滤、固执滤子、Ⅰ-滤、对合滤子、扩张滤子、弱滤子等)与分量格蕴涵代数(?)1、(?)2中同类滤子之间的关系,并将结论推广到了任意有限个格蕴涵代数的乘积结构(?)1×(?)2×...×(?)n中,特殊化到任意两个有限链的乘积结构Lm×Ln上。之后,展示了上述理论的应用: (1)得到了(?)6,(?)8,(?)9的所有非链型结构及各结构所对应的上述种类的滤子; (2)分别在二维和三维有限格蕴涵代数(即Lm×Ln和Lm×Ln×Lk)的Hasse图中,展示其非平凡滤子的位置; (3)得到(?)m(1)是格H蕴涵代数。


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