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热—电—磁—弹性体中币状裂纹问题的三维分析及其应用

李佩栋  
【摘要】:随着现代科学技术的发展,制造业对材料的性质不断提出各种特殊的要求,从而催生了大量的新型材料,例如:压电陶瓷、多铁性复合材料和形状记忆合金等。在工程实际中关于这些材料的许多问题都是多物理场的耦合问题,所以在研究这些问题时需要考虑多种物理场之间的相互影响。由于多物理场耦合的原因,对应的断裂理论所涉及的数学方程变得非常复杂和繁琐,精确的解析分析也变得特别困难。在过去的二十年中,国内外众多学者对多场耦合材料的断裂理论进行了深入研究,取得了较为丰富的成果。然而,无论是传统材料还是新型材料在多物理场耦合条件下的断裂理论方面仍存在着很多尚未解决的难题。在工程实际中,所遇到的裂纹问题通常是三维的。根据裂纹的几何构形分类,币状裂纹属于平面裂纹,但是在币状裂纹问题中任意点的场变量应是三个独立空间坐标的函数,因此该问题属于三维问题。由于多物理场耦合环境下材料弹性力学的复杂性,三维裂纹问题常简化到二维情形中进行分析。裂纹的三维分析对应各物理量的分布与二维情形可能有较大的差异。由于多种物理场之间的相互作用,即使二维裂纹问题都呈现较大的数学困难。鉴于多场耦合材料弹性力学框架下三维裂纹问题的复杂性,国内外学者在这方面所做的研究工作相对有限。然而,裂纹的三维分析克服了二维分析的模型误差,是各种简化分析和数值分析的检校标准。因此,裂纹的三维分析具有重要的科学价值和研究意义。针对现有文献在裂纹三维分析方面的不足,本论文开展了如下研究工作:(1)在热-弹性静力学问题通解的基础上,利用广义的势理论方法,研究了各向同性无限体中点温度载荷、均布温度载荷或均布热流载荷作用下的币状裂纹问题,并给出了整个三维空间中的热-弹性耦合场。在热-弹性精确解的基础上,引入Dugdale裂纹模型,得到了热载荷作用下币状裂纹尖端的塑性区范围。通过数值算例,展示了整个三维空间中热-弹性耦合场的分布规律。(2)在热-电-磁-弹性静力学问题通解的基础上,利用广义的势理论方法,研究了横观各向同性的热-电-磁-弹性无限体中广义集中载荷作用下的币状裂纹问题,并给出了由初等函数表达的基本解。所研究的币状裂纹的裂纹面可能是电磁均不可穿透的、电可穿透磁不可穿透的、电不可穿透磁可穿透的或电磁均可穿透的。通过对基本解在裂纹面上求积分,得到了均布载荷作用下币状裂纹问题的精确解。通过数值算例展示了裂纹周围热-电-磁-弹性耦合场的分布情况,并揭示了裂纹面电磁穿透性对广义应力强度因子的影响。(3)在热-电-弹性币状裂纹问题基本解的基础上,研究了热压电体中电半穿透性币状裂纹的电极化饱和问题,并给出了基于电极化饱和模型的近似解析解。采用数值离散的方法来研究该非线性问题,得到了该问题的数值解。通过数值解与近似解析解的对比,验证了所得结果的正确性。通过数值算例揭示了材料系数对裂尖电极化饱和区的影响。同时,发展了一套简单实用的经验公式,用来计算电极化饱和区的大小。(4)研究了热-电-磁-弹性体中温度载荷导致的币状裂纹尖端的电磁极化饱和问题。借助于Abel积分方程的经典解,对当前问题的控制方程进行解析求解,得到了广义裂纹表面位移和广义应力强度因子的表达式。根据电磁极化饱和模型的假设,建立了关于温度载荷和电磁极化饱和区范围的关系式,并得到了裂尖电磁极化饱和区的范围。通过数值算例,揭示了温度载荷和电磁屈服强度对电磁极化饱和区大小的影响。


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