一类非线性波的控制及渐近稳定研究

【摘要】：控制工程是一个很丰富的学科。最优化非线性波的控制工程常常假设可以得到一个非线性波模型，人们力求优化这些非线性波的性质。根剧不同的实际背景，从控制工程中得到的一些非线性波模型也各不相同。例如：某些常微分方程可以用来描述连续信号波，一些偏微分方程可以用来刻划样本信号和非线性波。这些非线性波产生于数字化系统或水波运动系统。在对这些系统进行推理的过程中，假设它们的输入初值或输入初边值满足一定条件，我们不仅对这些系统的解很感兴趣，而且也对这些系统解的稳定性和长时间渐近表现感兴趣。 从上世纪六十年代开始，在控制工程中，渐近稳定性一致是很活跃的研究领域之一。人们已经很清楚地认识到：原有的控制系统和稳定性理论已经不再适合去解决当今各种非线性波和许多复杂系统的控制问题。为了分析这些控制工程中的复杂问题，人们使用越来越多的前沿数学技巧和方法，这便导致了非线性控制系统众多理论的发展。特别是双曲型偏微分方程所代表的线性与非线性波系统的控制工程，已经被许多学者关注。众多学者把这些控制理论推广到了去研究各种空间(包括Sobolev空间和古典空间)中整体解(时间无穷大)的存在和渐近稳定性。假设半线性波系统的各种受控参数满足一定假设，对这样的半线性波系统的控制已经建立了一些理论。如果受控的初值或受控的初边值满足一定条件，相应的非线性波方程在Sobolev空间中的渐近理论可以用来分析自然界中的一些现象。 我们本工作中所讨论的几种和自然现象相关的非线性波在控制工程学中已经被一些学者关注(见[14-17])。只是他们得到的非线性波的稳定性和长时间渐近性结果与本文不一样。我们重点在Sobolev空间或古典空间中研究这些非线性波。 本工作的主要目的是；在受控的初值或受控的初边值满足一定条件时，研究三种不同的广义Boussinesq方程和两种非线性波方程整体解的适定性和长时间渐近稳定性。同时，由于本工作研究的广义Boussinesq方程与非线性波方程的 第il页西南交通大学研究生博士学位论文 解代表了孤立子波，因此本文得到的孤立子波也是渐近稳定的. 本工作由六部分组成: 1.给出了本工作的一些研究背景. 2.讨论了一类广义Boussinesq系统在受控初值条件下解的渐近稳定性，分 析了该Boussinesq波的渐近性态. 3.研究了一类具有受控初边值的阻尼Boussinesq方程整体解的渐近稳定 性，并给出了渐近近似解的计算方法. 4.得到了另一类广义Bou韶inesq方程孤立子波的稳定性. 5‘在一类负指数Sobolev空间中，研究了一类阻尼Euler-Bernoulli方程整 体解的稳定性. 6.在三维空间中，建立了一类半线性波方程在非球面对称形式下整体解的 渐近理论，并给出了应用.