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基于格蕴涵代数的格值逻辑及其模型论的研究

王学芳  
【摘要】:目前,逻辑学被广泛应用于计算机科学中逻辑电路设计、程序设计分析、安全协议验证以及人工智能等方面。各种逻辑系统不仅为知识表示提供了语言工具,而且也为知识推理提供了机械化算法。这方面的研究成果是实现计算和推理自动化的理论基础。另一方面,计算机科学特别是人工智能的迅速发展又为逻辑学的理论研究和实际应用提供了广阔背景和现实需求。格值逻辑是一种非常重要的非经典逻辑,它不仅能刻画全序性的信息,而且还可刻画非全序性(即不可比较性)的不确定性信息.本文基于有关格蕴涵代数和格值逻辑的研究成果,对如下几个方面展开了深入而详细的研究: 一.关于格蕴涵代数的研究 1.引入了局部有限的格蕴涵代数的概念,重点讨论了其基本性质,证明了每一个局部有限的格蕴涵代数是个链,且它与具有单性的格蕴涵代数是互相等价。 2.讨论了格蕴涵代数的素对偶理想的一些性质; 3.利用分配格和MV-代数的Priestley对偶性得到了格蕴涵代数的Priestley对偶性; 4.讨论了Kleene代数上LIA-蕴涵运算(即满足格蕴涵代数定义的蕴涵运算)的唯一性,给出了一种在Kleene代数上构造格蕴涵代数的方法; 5.在实单位区间[0,1]上构造了至少可数多个不同于Lukasiewicz蕴涵代数的格蕴涵代数,指出这些格蕴涵代数都是局部有限的。 二.关于格值逻辑系统的研究 格值命题逻辑系统LP(X)和与之相对应的格值一阶逻辑系统LF(X)在系统中加入了真值作为常值公式,增强了系统的知识表达能力,但是它们均建立在比较复杂的公理系统之上,并且由LP(X)和LF(X)的公理无法或很难推出某些重要的重言式。为此我们对LP(X)和LF(X)进行了简化、改进,建立了基于格蕴涵代数的格值命题逻辑系统L_P和与之相对应的格值一阶逻辑系统L_F,从以下几个方面进行了研究: 1.给出了系统L_P的基本结构,包括语言,语义和语法,并证明了系统中的一些定理; 2.讨论了基于局部有限格蕴涵代数的系统L_P~(LF)的重要性质,得到了可靠性定理,演绎定理,完备性定理和紧致性定理等; 第ii页 西南交通大学博士研究生学位论文 3.给出了系统弱罕的基本结构和一些定理; 4.证明了当真值域为局部有限的格蕴涵代数时系统玲F的可靠性定理、演 绎定理、完备性定理、协调性定理、紧致性定理和升降L一S一T定理. 三.关于格值一阶逻辑系统‘殊,的模型论的研究 借鉴经典模型论的研究思路和方法,对基于格蕴涵代数的格值一阶逻辑系统 马矛的模型论进行了初步的研究,包括下列内容: 1.推广了经典模型论中模型之间的同态、同构、膨胀、归约、子模型和扩充 模型等概念,并讨论了它们的有关性质; 2.基于模糊等价关系定义了模型之间的相似性度量; 3.证明了格值模型的初等链定理;得到了有限格蕴涵代数时的超积基本定 理,给出了它的两个应用. 本文的研究一方面是对格蕴涵代数、格值逻辑及其模型论的深入探讨,另一 方面是为研究不确定性推理提供一定的逻辑基础,为不确定性推理寻求合理的解 释. 关键词人工智能;非经典逻辑;多值逻辑;格值逻辑;格蕴涵代数;模型论


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