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传染病传播的确定模型与随机模型的比较及参数估计

张利凤  
【摘要】: 近年来虽然科学技术突飞猛进的发展,医疗设施也不断的完善,但是传染病仍旧成为了威胁人类生命的第一杀手,2003年在我国爆发的非典,迅速的席卷了全国,而近期在墨西哥爆发H1N1更是成为全球性的危机,面对在短时间就可以快速传播开的传染病,我们除了了解其传播原因、途径外,还希望知道它的传播过程究竟是怎样的,究竟是否会大面积爆发,何时爆发,这样政府卫生部门才能更好的对其进行掌控,采取有效的方法减慢其传播速度,因此基于这些问题,形成了一门新的学科——理论流行病学。 疾病传播模型是理论流行病学里面最常用的一种数学模型,其中最经典的为Kermack与McKendrick创立于1927年的两个经典基本模型SIS模型与SIR模型,后期许多学者在此基础上建立了更复杂但是也更符合实际的模型。传染病模型主要有两种形式:随机模型与确定性模型,二者在研究方法以及形式上有很大的区别,因此本文主要致力于比较两种模型之间的区别与联系,在此基础上找到决定传染病是否流行的关键性因素,并给出关键因素的估计方法。 本文在第二章介绍了John A.Jacquezj于1992年比较固定人口的SIS确定性模型与随机模型的方法,通过对比研究了SIS的确定模型与随机模型,得到确定性模型中,基本再生数若大于1则传染病感染人数会最终稳定在一个常数,成为地方病,而小于1时,则传染病会消亡;而在随机性模型中,基本再生数不管是否大于1,传染病最终都会消亡,为了能更直观的体现其传染病的传播过程,本文还运用计算机分别对确定模型与随机模型的传播过程进行模拟,最后还运用随机过程中的马氏链分析得到了在随机模型中,感染病患者最终回到消亡状态的时间的期望。 由于发现SIS的确定模型与随机模型在结果上有所不同,因此在第三章中,我们参考SIS确定模型与随机模型的比较方法,分析得出了对于SIR的确定模型与随机模型,不管基本再生数是否大于1,最终两种模型中,传染病都会消亡,只是若基本再生数大于1,则传播过程中,感染者人数会上升,然后再逐渐趋于0。为了能较好的分析随机模型,在这里我们引入了马氏双链来分析该传播过程,最终仍然得到了传染病最终将消失的结论。 由于基本再生数在传染病是否传播中有重要的作用,并且SIR模型在随机与确定模型下的结果较为一致,因此在第四章中,给出了SIR模型中与基本再生数有关的传染率与治愈率两个参数的估计方法,并且发现在似然估计与贝叶斯估计在先验分布服从均匀分布的情况下,参数估计值有所差异,但是先验分布服从伽马分布时若参数值取O,则与似然估计值一致。为了能检验参数估计方法是否有效,第四章中还在给定参数值的前提下,运用计算机模拟整个传播过程,发现该参数估计方法不仅适用于小样本,同时还适用于大样本,而且只需记录一部分人的感染时刻以及对应的治愈时间,从而得到感染者与易感者人数随时间的变化趋势,就可以较为准确的估计出治愈率与传染率,从而得到基本再生数的估计值。在本文的最后一章对全文内容进行总结归纳,并提出了今后进一步研究的方向。


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