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几类非线性波方程的研究

胡芳  
【摘要】: 本论文主要研究了两方面的问题,一是研究了具双非线性项的非线性薛定谔方程;另外研究了具有耗散项和源项的Kirchhoff型的波动方程,本文的结构安排如下: 绪论中介绍两类方程的研究背景、研究现状以及本文所采用的研究方法和所得到的主要结论。 第二章,讨论了具双非线性项的非线性薛定谔方程,首先以初值问题的局部适定性为基础,构造合适的泛函和Nehari不变流形,从而设置约束变分问题,然后根据这变分问题的特性,建立了相应的发展不变流,最后得到了解的爆破性质和整体存在性以及整体解存在的最佳条件。 第三章,研究了具有非线性耗散项和源项的Kirchhoff型的非退化波动方程,利用凸方法得到了该初值问题解的爆破条件,并且考察了线性耗散项和非线性耗散项相互竞争时对方程解的爆破的影响。 第四章,讨论了具有非线性耗散项和源项的Kirchhoff型的柔和退化波动方程,利用凸方法研究了该方程的解的爆破现象,考察了线性耗散项和非线性耗散项相互竞争时对方程解的爆破的影响。 总之,对于具双非线性的薛定谔方程,通过运用J.Zhang所建立的变分方法,找到了其整体解存在的最佳条件和解爆破的一个充分条件;对于具耗散项和源项的Kirchhoff型的波动方程,通过运用凸方法,探讨了在非退化和柔和退化两种情况下,解爆破的两个充分条件。


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