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预条件算法及在电磁场数值模拟中的应用

任志刚  
【摘要】:计算数学的应用遍及当前科学界的各个领域。在航空航天、生命科学、资源勘探、材料设计等等方面都发挥着重要的作用。利用现代高性能的计算机,从数学理论出发,建立事物的物理模型,经过求解相应的方程,得出最后的期望的结果。在这一系列的过程中,求解线性代数方程组的计算量常常占了整个计算过程的80%以上。若线性系统的系数矩阵的谱性质又并非很好,则其迭代求解就更加困难。如何能够准确、快速的求解这些大规模的线性系统真正成了求解许多实际问题的当务之急。大规模线性系统求解的理论意义毋庸多言,实际价值更是显而易见。本文基于此,对能够加速迭代法收敛速率的预条件方法进行了大量的研究,并针对一些有计算电磁学背景的问题,针对性的构造了多种高效的预条件方法。 正定线性系统的预条件迭代求解一直是许多学者研究的热点。而M-矩阵正是特殊的一类正定矩阵,根据M-矩阵一些特殊的性质有针对性的构造预条件方法更是令许多学者非常着迷。对有块三对角结构的M-矩阵,利用其块结构,进行块不完全LU分解是非常高效的预条件方法之一。为了保证块不完全分解的效率同时又保证分解因子的稀疏性,我们令分解因子保持类似ILU(k)的非零模式。同时根据M-矩阵的不完全分解方法可以构造其一种正规分裂,从而从理论上也证明了预条件子的有效性。而为了一定程度上提高其预条件子构造的可并行性,我们提出了一种重启的方法,使得预条件子兼顾效率的同时,可以节省更多的构造时间。针对二阶椭圆方程的数值实验则进一步的证明了其效率。 对于用棱边元方法离散麦克斯韦方程得到的不定线性系统,根据离散矩阵的特点,利用其刚度矩阵与质量矩阵,我们给出了一类正定的预条件子。这类预条件子的构造方法十分简单,因其正定,求解也不难。针对这种正定的预条件子我们给出了其预条件之后线性系统的谱分布,并通过算例,进一步显示出其效用。 矢量波动方程在研究物体散射问题时常常被用到,利用棱边元方法离散之后得到的通常是大型、稀疏、不定的复线性系统。在对这类线性系统进行不完全分解预条件方法时常常会遇到预条件效果不好的挑战,如何提高不完全分解的加速效果十分重要。通过对系数矩阵的对角元进行扰动是提高其效率的一种非常有效的手段,结合扰动技术与一种修改的不完全分解方法做为迭代求解的预条件子,对几类模型问题的实验表明结合了扰动技术的不完全分解方法对于迭代求解的加速效果十分明显。 有限元与矩量法是离散麦克斯韦方程的两种重要手段。而混合有限元-矩量法更是充分利用了两种方法的各自优势。针对利用混合法离散不同的问题得到的线性系统,我们提出了几种不同的预条件方法。对于利用混合法离散介质体散射问题时,SOR预条件方法有着不俗的表现。我们也提出了几种系数矩阵的近似矩阵做为预条件子,它们的表现也十分好,同SOR相比它们求解也更加简单,而且效率也十分可观。针对离散天线问题时,根据其系数矩阵2×2块的结构,研究了块不完全分解与两层预条件方法,对比给出了最适合求解的线性系统的形式,最后通过相应的数值算例也证明了预条件技术的高效性。 源于Helmholtz方程在电磁计算、声波传播、地球物理等等领域的广泛应用,其预条件迭代求解方法的研究一直备受关注。算子预条件方法不同于从系数矩阵出发的那些经典的预条件方法,它以模型的算子为根本,从物理意义出发,通过对算子进行修改,得到一个近似算子做为其预条件子。与经典的预条件方法相比,更容易从物理意义上解释其有效性。我们根据其预条件算子,利用代数多重网格方法对Helmholtz方程的迭代求解进行加速,实验表明对有阻尼的Helmholtz方程的求解,应用了提出的预条件方法之后,其迭代步数几乎不随着线性系统的规模增大而增长。


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