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鞍点问题和Sylvester型矩阵方程(组)的数值解法研究

李胜坤  
【摘要】:本文主要研究两类线性系统的数值解法,一类是科学计算和工程技术中产生的鞍点问题,一类是系统理论及稳定性分析中经常遇到的Sylvester型矩阵方程(组)。对这两种线性系统进行了深入的研究,提出了一些新的迭代法和预条件子。 研究了鞍点系统的迭代法和预处理技术。基于广义的SOR方法和修正的SOR-like方法,提出了一种三参数的修正的广义逐次超松弛迭代法(MGSOR)。讨论了方法的收敛性,给出了参数的选取范围,通过数值实验验证了所提方法的优越性。另外,针对两种不同的鞍点系统分别给出了两种多参数的块上三角增广型预条件子,详细讨论了预处理矩阵的特征值分布。理论分析表明,适当选取参数后,预处理后的系统的特征值更聚集,并用数值实验进行了验证。同时指出,通过不同的参数选取可得到具有同样效果的不同预条件子。 研究了Sylvester型矩阵方程(组)的迭代解法。基于梯度迭代法(GI)和Jacobi梯度迭代法(JGI),提出了一种求解Lyapunov矩阵方程的平移分裂Jacobi梯度迭代法(SSJGI),讨论了方法的收敛性和参数的选取范围。适当选取参数后,这种方法收敛速度快,计算量小,并用数值实验进行了验证。基于CGNE方法的矩阵形式,提出了一种求解广义Sylvester矩阵方程组的极小范数最小二乘解的有限步迭代法,详细讨论了方法的性质和收敛性,并进行了数值实验。这种方法结构简单,计算过程中无需求逆。另外,以Paige’s算法为基础,提出了两种矩阵迭代法求解一般矩阵方程组的约束解,如对称解、广义双对称解、(R, S)对称解等,并用数值实验验证了两种迭代法的有效性。


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