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结构矩阵计算及在数字图像复原中的应用

吕小光  
【摘要】:结构线性系统在数学、科学计算和工程中的不同领域都有广泛的应用,如:偏微分方程、信号与图像处理、排队网络、积分方程、时间序列分析、控制论等等.特别是在实际应用中日益增长的复杂性的驱动下,设计快速的数值可靠的算法求解大规模结构问题已变得日益重要.这方面最主要的挑战是需要发展速度快与数值精度高的算法,但这两个要求常常不可兼得,以至于在许多情况下,怎样设计快速的数值可靠的算法求解大规模结构线性方程组依然是一个关键问题.本文首先考虑了大型结构线性方程组的高性能算法求解问题. 提出了一种新的算法求解Pascal线性方程组,这种算法是通过把Pascal矩阵分解成Jordan矩阵的乘积实现的.该新算法求解Pascal线性方程组只需要O(n2)次加法不需要乘法,是一种稳定可靠的算法.同时,也考虑了广义的Pascal线性方程组的求解问题. 给出了关于用中心对称和反中心对称分裂(CSS)迭代方法求解正定的Toeplitz线性系统的一些结果,讨论分析了CSS迭代的收敛性以及参数的选取,简单的数值测试结果验证了CSS迭代法的有效性. 研究了改进的T. Chan预条件共轭梯度方法求解Toeplitz线性系统,特别是得到了系数矩阵为Hermitian对称正定时的一些重要结果.讨论了改进的T. Chan预条件共轭梯度方法求解Toeplitz线性系统的运算量,并分析了它的收敛性问题.给出的数值结果验证了该预条件方法是有效的. 图像复原是去除或者减轻观察图像中的退化的过程.数学上,图像复原模型可以用一个离散的病态问题描述Kf +η= g,其中,大型的结构矩阵K表示模糊现象,向量g表示观察的噪声模糊图像,向量η代表噪声.给定g, K,某些情况下,还给定一些噪声的统计信息,图像复原的目的是恢复得到原始图像f的一个近似图像.通常情况下, K是严重病态的, g有噪声干扰.这样,常规的方法计算系统Kf = g会得到一个受噪声强烈干扰的解.一般,正则化方法可以有效的解决这些问题.利用正则化方法求解可以得到一个受噪声敏感性影响非常小的近似解.本文研究了几种有效的可靠的正则化方法求解数字图像复原问题. 在图像复原中,考虑了全对称边界条件的使用.全对称边界条件的模糊矩阵具有块Toeplitz+PseudoHankel,每个块为Toeplitz+PseudoHankel的结构.不管点扩展函数(PSF)是否对称,张量积近似的方法成功应用到全对称边界条件的图像复原问题.应该指出的是,当真实PSF的尺寸很小时,张量积近似算法的复杂性是小的,因为实现该算法的所有计算都是通过在大矩阵里的左上角小矩阵的计算来完成的. 研究了全局Krylov方法求解病态的图像复原问题.结合一个基于差异原理的停止准则,全局Krylov方法可以充当一种好的正则化方法求图像复原问题.为了加速全局迭代方法的收敛性,在该方法重启前,将计算的近似解投影到非负矩阵的集合上.一些来自图像复原问题的数值仿真验证了全局迭代方法的有效性. 研究了一种特别的Hermitian和反-Hermitian分裂(SHSS)迭代方法求解图像复原问题,该方法是基于一种扩大的线性系统实现的.分析了SHSS迭代方法求解图像复原问题的收敛性和运算量,得到了最小化谱半径的最优化参数.针对病态的图像复原问题,给出了详细的SHSS迭代算法.数值实验结果验证了该迭代方法的有效性.最后,讨论了SHSS迭代方法的超松弛(SOR)加速策略.


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