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基于小波配点法的偏微分方程数值解

段小明  
【摘要】:小波分析是Fourier分析的延伸和发展,自诞生发展至今,理论框架不断完善成熟。与Fourier分析相比,小波分析具有更多的优点,其独特的优势在许多领域得到了充分的体现。从纯粹的数学理论到许多应用领域,如占星学、经济学、海洋学、地震学等,小波分析都发挥着其相应的作用。在数学领域,小波分析可以解决很多问题,尤其偏微分方程数值解。 本文主要介绍、讨论用Haar小波配点法和Shannon小波配点法近似求解力学中的有关偏微分方程:波动方程(Wave方程)和对流扩散方程(Convection-Diffusion方程),给出求这两个方程数值解的相应方法;最后分析这两种小波配点法推导出的小波解的逼近程度。具体的工作内容如下: 一、介绍小波分析的产生与发展状况;小波在偏微分方程中的应用回顾;本论文涉及到的最基本的小波知识,包括:小波的概念;两种小波变换;多分辨分析;正交小波。 二、介绍Haar小波的定义以及性质。用Haar小波得到相应偏微分方程数值解的积分算子矩阵,利用这些积分算子矩阵及其性质对Wave方程进行分解,得到一代数方程组,然后通过预处理知识对所得到的方程组求解,最后得到解的逼近形式。通过例子说明该方法的有效性,同时探讨此小波配点法求解Wave方程所得结果的逼近程度。 三、介绍Shannon尺度函数、小波函数的定义和性质及Shannon尺度函数导出的L2R空间中的基函数。本文用此基函数及其性质对Convection-Diffusion方程进行分解,得到一维方程组,然后通过Runge-Kutta-Gill法以及方程组的预处理知识得到方程的逼近解。最后通过例子说明该方法的有效性,并探讨此方法求解Convection-Diffusion方程所得结果的逼近程度。


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