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特殊矩阵的推广及其性质的研究

陈泳宏  
【摘要】:特殊矩阵的研究一直以来就是矩阵论中研究比较活跃的领域,其中对非负矩阵和Z矩阵的研究又是特殊矩阵研究中的重要的部分。非负矩阵理论是研究每个元素都非负的一类矩阵的理论,对非负矩阵的研究可追溯至数学家Perron的早期工作,后来由数学家Frobenius, Brauer, Taussky等一些数学家对非负矩阵的进一步深入研究,并获得有关于非负矩阵的许多优美的结果,著名的Perron-Frobenius定理就是其中之一。由于非负矩阵理论应用领域非常广泛。它与数值分析、概率论、经济数学、以及组合数学和控制论等学科都有着密切的联系,所以对非负矩阵的研究一直以来是矩阵理论研究中较为活跃的领域之一。 随着计算机、生物学、物理学、经济学等理论的不断发展,这些领域中的许多问题都归结为具有特殊结构的矩阵问题,而在这些具有特殊结构的矩阵中具有非正的非对角元素的实方阵扮演着重要的角色。这些矩阵具有这样的形式如:A=-sI-B, s﹥0与B≧0,即Z-矩阵。这意味着Z-矩阵在这些具有特殊结构的矩阵研究中的扮演着重要的角色,使得对其性质的研究一直受到许多数学学者和其它领域学者的密切关注。 然而随着科学技术的飞跃发展和进步,特别是随着计算机技术的不断发展和进步,许多数学理论日趋成熟,新的数学理论蓬勃发展,新的数学方法层出不穷,有些特殊矩阵的定义域不再局限于实数域,而是复数域上的特殊矩阵。 本文主要研究两类特殊矩阵即非负矩阵和Z矩阵,将其定义域推广到复数域,并推广这两类特殊矩阵及其一些性质,使非负矩阵和Z矩阵的一些优美的性质的应用范围更广,使得特殊矩阵的理论体系得到进一步补充和完善。 基于以上的问题,本学位论文主要以非负矩阵和Z矩阵研究对象,具体探讨内容如下:将非负矩阵和Z矩阵分别推广为广义的非负矩阵和广义Z矩阵;重点研究广义非负矩阵的基本性质和广义Z矩阵的基本性质;对于相关的不能推广的性质给与说明,同时重点研究其不能推广的原因;考察广义矩阵在数学及其它相关学科中的应用。


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