基于数值代数的图像复原问题研究

【摘要】：在信号和图像处理中，期望将原始场景从观测到的降质数据中恢复出来。在数学上，这个过程就模型化为求解一个系数矩阵为模糊矩阵的线性代数系统。本学位论文研究基于数值代数的高性能正则化算法求解图像复原问题中的大规模线性代数系统。此类线性代数系统系数矩阵规模巨大、严重病态且在特定边界条件下具有特殊结构,例如在零边界条件下具有Toeplitz结构，Neumann边界条件下具有Toeplitz-plus-Hankel结构。研究分析结构矩阵的性质，设计稳定快速算法求解基于结构矩阵的线性方程组具有重要意义。本学位论文共有八章，主要研究内容分为六个部分。 求解系数矩阵为三对角M矩阵的线性代数方程组是求解许多积分微分方程中的核心问题之一。保证该系数矩阵的单调性常常是问题研究的关键。第一部分基于三对角M矩阵的特殊性质，采用新的分块法则以及递推使用克莱姆法，研究提出了扰动后矩阵单调性的充分必要条件，并设计了计算最大可达上界的快速算法。理论分析和数值实验均显示了新算法的有效性。 第二部分根据三角Toeplitz矩阵的特殊结构性质，使用循环矩阵逼近三角Toeplitz矩阵，设计了基于尺度参数和快速傅里叶变换的快速三角Toeplitz逆求取算法，即尺度Bini算法。尺度Bini算法在不增加原算法计算量的同时，提高了近似逆矩阵的精度。 第三部分基于可逆Toeplitz矩阵的逆运算公式，通过求解两个基础方程，研究构造了多右端向量Toeplitz线性系统的近似逆预条件子。讨论了近似逆预条件共轭梯度法的计算复杂度，并给出了收敛性分析。数值实验比较说明了新逆预条件子的优越性。 第四部分设计了图像复原问题中假设anti-reflective边界下的预条件技术。基于模糊矩阵的谱分解性质，设计了具有正则化性质的截断谱分解预条件子。截断谱分解预条件子改善了模糊矩阵的特征值分布，令较大特征值为1，较小特征值保持不变，加快了共轭梯度法求解图像复原问题的收敛速度，提高了复原图像质量。 第五部分针对图像复原问题，设计了更符合真实场景的移位反射边界条件，给出了该边界条件下的模糊矩阵。根据模糊矩阵的特殊结构性质，设计了对应的Kronecker积逼近形式，提出了基于Kronecker积逼近的SVD型正则化算法。数值实验说明了SVD型正则化算法的高效性。 采用CGLS和MRNSD等迭代正则化方法求解图像复原问题中的大规模严重病态线性系统，收敛速度虽然很快，但却出现了半收敛现象。第六部分通过分析CGLS和MRNSD方法中迭代向量的性质，结合具有高去噪性能的软阈值方法，设计了类CGLS和类MRNSD迭代算法求解图像复原问题。新算法克服了原算法的半收敛性质，提高了复原图像的质量。