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基于符号计算的分岔多项式系统控制器参数化研究

陆金波  
【摘要】:分岔多项式系统是一类广泛存在的动态系统,对其进行控制研究是非线性系统控制中的一个重要研究方向。本文针对分岔多项式系统的Hopf分岔问题,提出了控制器参数化设计方法,并在多种系统上进行了理论和工程应用。使用该方法对分岔多项式系统设计的控制器,能够镇定在平衡点处的系统状态轨迹,使系统状态达到控制要求。相比于现有的研究成果,本文设计的控制器由原系统的矢量方程组成,形式简单,具有通用性,控制器不改变原系统的平衡点位置并能够在全部平衡点处同时实现镇定和控制。通常参数化的控制器设计过程中需要使用近似计算、经验公式等手段,得到的约束条件有很强的局限性,通过这些约束条件一般只能得到有限个解。所以本文使用了符号计算技术对控制器的约束条件进行了推导和简化,从而得到了由等式和不等式组成的系统约束条件。用这些约束条件直接求解控制参数是繁琐而困难的,本文利用代数几何方法对控制器参数进行了求解,将含有等式和多个不等式复杂求解问题转换成了控制器参数空间的划分问题和搜索问题,从而实现约束条件的充分求解。本文的主要工作如下:(1)本文首先定义了含参数的控制器通用表达式,给出控制器参数化的构造方法。然后,根据Hurwitz判据对控制器参数的约束条件进行推导并对控制器的有效性进行证明。(2)本文在求解系统约束条件中的控制器参数时,将复杂的半代数集求解问题转换成控制器参数空间的区域进行划分问题,在参数空间中搜索出满足系统约束条件的控制参数区域,在这个区域内的参数能够在平衡点附近控制系统,使其实现Hopf分岔或者状态稳定。本文以存在两个平衡点的R?ssler系统为例对控制器的设计过程进行详细的说明,并分析了不同的控制器参数对各个平衡点的稳定情况的影响。(3)本文将提出的控制器参数化方法应用到分岔参数存在切换的分岔多项式系统,实现了系统的稳定控制。由于系统状态对分岔参数变化的敏感性,通常当分岔参数切换时,所设计控制器需要进行改变,甚至重新设计。在控制器设计过程中,本文将分岔参数存在切换的系统当做是两个独立的子系统进行设计,使用控制器参数化设计方法设计控制器,同时考虑分岔参数切换对各个平衡点处约束条件的影响,通过代数几何的方法求解出了满足所有约束条件的控制器参数范围。这样在这个参数范围内的控制器能够实现对系统的稳定控制,不需要跟随分岔参数的切换而变化。仿真结果表明本文的控制器参数化方法对分岔参数存在切换分岔多项式系统的有效性。(4)在本文的控制器参数化方法基础上对Hopf分岔多项式系统提出了具有鲁棒稳定性的控制器设计方法。非线性系统的构成复杂,很难精确求解出系统分岔参数的值,而系统状态特性对分岔参数的变化非常敏感,分岔参数的微小变动就可能使系统的动态特性受到影响,所以在分岔点附近设计控制器时就期望所设计的控制器对于分岔参数具有一定适应能力,即具有一定的鲁棒稳定特性。本文以Lorenz系统为例说明控制器的推导和设计过程,然后以Van der Pol振荡系统为例,进行了工程应用。(5)控制器参数的约束条件会随着系统平衡点的个数而成倍增加,针对这个问题,本文对提出的分岔多项式系统控制器参数化设计方法计算过程进行优化,简化了系统约束条件,减少了约束条件个数。同时本文在控制器参数的优化方面进行研究,针对系统状态调整时间提出了一种优化算法。在得到控制器参数范围后,可以用优化算法改进系统状态的调整时间。(6)针对一种直流无刷电机模型,将本文提出的控制器参数化设计方法进行工程应用,在电机三个平衡点处使原来混沌的系统状态得到镇定;当等效负载满载而且存在正弦扰动时,使用本文设计的控制器也实现了镇定控制,系统状态轨迹都收敛于相应的平衡点。


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