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几种特殊矩阵类的数值特征、算法和预处理技术

李厚彪  
【摘要】: 矩阵计算和特殊矩阵分析在计算数学、数学物理、经济学、物理学、生物学等领域都有着广泛的应用。本文主要研究了几种特殊矩阵的数值特征、算法和预处理技术,主要内容和创新点包括: 1.对非奇H-矩阵进行了进一步研究,发现了一些较好的特征,提出了一种新的非奇H-矩阵快速判别算法。其较经典的算法而言,大大减少了计算量;且具有简单直接,易于编程实现等特点。从而促进了一些新的快速算法的产生和相应理论的发展。 2.提出了一种新的P-矩阵子类—MB-矩阵类,研究了此类矩阵的性质及其与最近出现的其他几个相关P-矩阵子类的关系;基于这些关系获得了一种新的不同于非奇H-矩阵的非奇矩阵类,并进一步获得了一些新的一般实矩阵实特征值包含区间。 3.基于一些非负矩阵理论,推广或改进了一些经典的矩阵特征值和奇异值的包含域,给出了著名的Ky Fan定理的几种推广形式,如下列区间就包含了矩阵A的所有奇异值(详见定理3.3.2和3.3.3): 或 其中对任意i≠j非负矩阵B=(b_(ij))∈R~(n,n)满足b_(ij)≥max{|a_(ij)|,|a_(ji)}。 上述结论的—个重要意义在于对一个对角元为正的矩阵来说上述包含域形式可以同时包含其所有的特征值和奇异值(见注3.3.2).另外,关于奇异值也给出了一个几乎最优的“Ger(?)gorin-type”型包含区间(详见定理3.3.9): (?)(Ω_A):=[0,(?) max{1╱x_i sum from j=1 to n |a_(ij)|y_j 1╱y_i sum from j=1 to n |a_(ji)|x_j}],(3)其包含了所有与矩阵A等模的矩阵(记作Ω_A:={B=(b_(ij):|b_(ij)|=|a_(ij),1≤i,j≤n})的所有奇异值,并且从理论上证明此区间的上界对某些矩阵来说是精确的。 4.证明并改进了关于M-矩阵A与其逆阵Hadamard积最小特征值(q(A oA~(-1)))下界的Fiedler-Markham’s猜想: q(A o A~(-1))≥2╱n,(4)其中n为M-矩阵A的阶数。 5.对一般迭代矩阵M~(-1)N的谱半径ρ(M~(-1)N)的估计给出一种新形式(详见定理4.2.2): 其中f=[f_1,f_2,…,f_n]是一个满足一定线性关系的G-函数,A=|m_(ii)m_(jj)|—f_i(M)f_j(M),B′=|m_(ii)n_(jj)+n_(ii)m_(jj)|+f_i(M)f_j(N)+f_i(N)f_j(M)和C′=-[|n_(ii)n_(jj)|+f_i(N)f_j(N)]。其在一些情况下优越于一些经典的结果,最后将其推广到了分块矩阵的情形。 6.对一般对角占优三对角矩阵给出了逆元素的新估计,其优于近期的一些著名结果,并对三对角H-矩阵的逆元素的符号首次给出了一种简单计算公式(详见定理5.2.1): “若A=Tridiag{a_i,b_i,c_i}是三对角H-矩阵,那么A~(-1)=(c_(i,j))存在且有 (1)sign(c_(i,j))=(-1)~((i+j))sign(b_j multiply from k=j+1 to i a_kb_k),i>j; (2)sign(c_(1,j))=sign(b_i),i=j; (3)sign(c_(i,j))=(-1)~((i+j))sign(b_j multiply from k=1 to j-1 c_kb_k),i<j。 特别当b_i>0(i∈N)时,我们有 (4)sign(c_(i,j))=(-1)~((i+j))sign(multiply from k=j+1 to i a_k),i>j; (5)sign(c_(i,j))=(-1)~((i+j))sign(multiply from k=i to j-1 c_k),i<j.” 最后,对一般三对角矩阵的逆给出了一种新的表示形式,并获得了一种新型符号算法。 7.针对块三对角矩阵类,结合阶梯矩阵和多项式预处理技术,提出了一种新的可高效并行的预处理子,数值试验表明其可优越于著名的ILU(k)预处理子。 8.针对最近一种常用的Newton型预处理子构造方法: N_(m+1)=N_m(2I-AN_m),m=0,1,…,(6) 其中No是对A~(-1)的一个初始近似,I是与A同阶的单位矩阵。通过修改其迭代策略获得一种至少三阶收敛的加速方案: N_(m+1)=N_m(3I—AN_m(3I—AN_m)),m=0,1,…,(7)或等价地 N_(m+1)=(3I—N_mA(3I—N_mA))N_m,m=0,1,….(8)


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