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特殊矩阵分析和鞍点问题迭代法

朱艳  
【摘要】: 从20世纪初至今,非负矩阵,H-矩阵,M-矩阵及与之密切相关的其他特殊矩阵的应用日益广泛.特殊矩阵的分析是数值代数的核心方向之一,在计算数学,数学物理,经济学,生物学,物理学等领域都有广泛的应用.本文对几种特殊矩阵和数值特征进行了深入的研究,并且讨论了鞍点问题求解的迭代方法.本文主要内容和创新点包括: 1.研究了两类特殊矩阵:H-矩阵和双对角占优矩阵.对H-矩阵和双对角占优矩阵的子直和进行了研究,给出H-矩阵的子直和是H-矩阵的充分条件.应用一些算例来说明所得到的充分条件推广了相关结论.获得双对角占优矩阵的子直和是双对角占优矩阵的充分条件,数值例子说明所得条件的有效性.进一步讨论了S-严格对角占优矩阵的子直和问题,补充了Bru,Pedroche和Szyld关于S-严格对角占优矩阵子直和研究的内容. 2.研究了两类特殊矩阵:M-矩阵和逆M-矩阵.首先获得了具非零元素链对角占优M-矩阵逆的无穷大范数的上界估计.利用具非零元素链对角占优M-矩阵的特殊结构,M-矩阵和M-矩阵的逆矩阵元素之间的关系,得到M-矩阵逆的无穷大范数上界估计.进一步获得了M-矩阵最小特征值q(A)的下界. 对逆M-矩阵和SPP(strict Path Product)矩阵之间相互关系进行了进一步的研究,根据矩阵阶数的大小,得到了一个新的数值,给SPP矩阵的对角元增加这一数值.使得SPP矩阵是逆M-矩阵.并且回答了4×4阶的SPP矩阵是否是P-矩阵的问题.本部分得到的结果优于近期的相关结果. 3.给出了矩阵数值特征估计.得到了关于矩阵非奇异性新的判别条件,判别条件推广了严格对角占优性和B-矩阵的性质,利用这些判别条件得到了实矩阵实特征值的包含区间.并且基于C-矩阵与(?)-矩阵,获得了矩阵新的非奇异性判别条件,应用这些判别条件获得了实矩阵实特征值的排除区间.本部分得到的结论优于相关结论. 通过对块对角占优矩阵和非严格广义块对角占优矩阵的研究,获得了判定块对角占优矩阵和非严格广义块对角占优矩阵奇异/非奇异性新的充分必要条件.并且给出了块对角等势矩阵奇异/非奇异性易于验证的判定条件. 4.研究了鞍点问题求解的迭代方法.基于矩阵分裂,通过选择不同的预条件矩阵,得到相应的迭代方法.实验结果说明了本部分所得算法的有效性.


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