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特殊符号模式矩阵

朱兴文  
【摘要】: 符号模式矩阵理论主要研究矩阵的仅与其符号模式有关的定性性质。符号模式矩阵最早起源于经济学中对某些问题的定性性质的研究。符号模式矩阵的研究来自于对线性动力系统的符号可解性与符号稳定性的的研究,其开创性工作是由诺贝尔奖获得者、经济学家P.Samuelson作出的。1995年,R.A.Brualdi与B.L.Shader的关于符号矩阵论的专著《Matrices of Sign—solvable Linear systems》的问世极大地推动了符号矩阵理论的发展,它全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的研究成果,同时给出了许多新的结论。从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴研究热点。 符号模式矩阵( )A = ai j n×n是指矩阵中的元素ai j取值于集合{0 ,+ ,?}的矩阵。若对A 2= A,就称A是符号幂等的符号模式矩阵,同时若存在与A的元素有相同符号实矩阵B ,使得B 2= B,称A是允许幂等的符号模式矩阵。a i j = aji,即A = AT,称A是对称符号模式矩阵。本文主要研究了符号幂等矩阵和对称符号模式矩阵的性质及它们之间的关系,特别是符号幂等矩阵的负元素的个数。主要内容如下: 介绍了符号模式矩阵研究的历史背景,给出了符号模式矩阵的基本概念和相关结论,概述了符号模式矩阵的研究现状及主要研究的问题。 研究了一般符号模式矩阵的幂等,讨论了符号幂等与允许幂等之间的关系,同时在这部分我们研究了符号幂等模式矩阵的主子矩阵及上、下三角矩阵,刻画了主子矩阵的幂等,给出了一类上、下三角矩阵仍是符号幂等的符号幂等式矩阵。通过幂等的定义,给出了两种符号幂等模式矩阵的结构。 研究了符号幂等模式矩阵的负元素的个数及对称符号模式矩阵的性质,包括在对称情况下的幂等与允许幂等。给出了其负元素的最大个数。讨论了广义置换相似的幂等结构和最小秩分解,得出了一些关于广义逆、允许三次幂等及允许幂等的等价命题。


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