群的阶及最高阶元素的阶与群结构

【摘要】：用“群的阶”和“元素阶之集合”刻画有限单群是过去30年里单群数量刻画领域的著名课题,该课题由我国著名群论专家施武杰教授提出并做了大量研究,证明了几乎所有有限单群都可以由群的阶和元素阶的集合这两个数量唯一确定.他的工作曾受到Fields奖获得者J.G. Thompson教授的高度赞扬.1992年,这一研究作为施武杰教授提出的一个著名猜想被列入《Unsolved Problems in Group Theory》(问题12.39).2009年俄罗斯数学家V.D.Mazurov等人在施武杰教授等人工作的基础上最终证明了所有有限单群都可以由群的阶和元素阶的集合完全确定. 数量刻画要使用足够的数量才能实现,当然人们对数量“足够”的期望自然是越少越好.本文试图用更少的数量刻画有限群：我们首先研究了群的阶和群中最高阶元素的阶(个别情况用到次高阶元素的阶)与有限单群结构之间的关系,其次研究了群的最高阶元的相关特性,即最高阶元的阶(个别情况用到次高阶元素的阶),最高阶元的个数及中心化子与有限单群结构之间的关系,同时我们还讨论了群的阶和最高阶元的阶与对称群结构之间的关系.全文分为四章,主要研究结果在第三章和第四章. 在第三章中,我们研究了群的阶和群中最高阶元素的阶对有限单群,对称群结构的影响.主要用群的阶及最高阶元素的阶(个别情况用到次高阶元素的阶)刻画了单K3-群,单K4-群,散在单群,交错单群,部分李型单群,对称群. 在第四章中,我们去掉群的阶这一重要条件,只用群中最高阶元的相关特性,即最高阶元的阶、最高阶元的个数及最高阶元的中心化子刻画有限单群.主要刻画了单K3-群,散在单群,部分交错单群,部分单K4-群,部分李型单群.