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一阶逻辑的一种全面扩张:语形和语义

顾恒  
【摘要】:在现代逻辑学中最经典的,也是被讨论的最多的是一阶谓词逻辑。但是实际上有一些概念(如存在无穷多个)在一阶逻辑内是无法表达的,也就是说一阶逻辑的表达力是比较有限的。为了增强其表达力,可以在许多方面对其进行拓展。高阶逻辑是在“高度”上的拓展,它允许关系变元及其量化;无穷逻辑是在“长度”上的拓展,它允许对无穷多个公式合取以及对无穷多个变元进行量化(确切地说是含有无穷多个元素的公式集和变元集);广义量词逻辑则可以说是在“花样”上的拓展,它允许除了全称和存在量词之外的其它量词。那么接下来很自然地产生一个问题:如果将一阶逻辑往各个方向同时拓展,会得到什么?本文就旨在回答这个问题。 第二章设计了一种新型的类型论,使之能讨论函数变元和等词、联结词、量词的类型。先定义了域类型,即高阶域的类型。随后定义了符号类型,即各逻辑符号非逻辑符号的类型(括号等辅助符号除外)。 第三章构造了造统合高阶语言、无穷语言和广义量词语言的语言——统一语言。首先引入一些构造语言时需要用到的转换映射;随后定义了相似型、签名、逻辑类型等语义类型;最后正式构建了统一语言的生成文法。 第四章在前一章工作的基础上着手构造统合高阶逻辑、经典无穷逻辑和广义量词逻辑的逻辑——统一逻辑。首先定义了结构与模型;随后定义了统一逻辑的语义部分;最后定义如一致性完全性之类的语形语义性质。 第五章主要探讨统一逻辑的性质。本章借助了序理论中的相关结论,证明了统一逻辑外延类(关于包含于关系)上的理论算子和内涵类(关于包含关系)上的模型类算子构成伽罗瓦联络,以及逻辑上的逻辑格、外延格、内涵格、外延Lindenbaum-Taski结构和内涵Lindenbaum-Taski结构互相同构。


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