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两类Kirchhoff型方程解的存在性和多重性

谢启林  
【摘要】:考虑带有临界指数增长项的Kirchhoff型方程其中Ω是R3中一个非空有界开集有足够光滑的边界aQ,a≥0,b0,且f(x,t):Ω×R是一个连续函数. 对于退化的Kirchhoff型方程,我们利用变分方法,对能量泛函进行上界估计和局部的(PS)条件的证明,最后利用山路引理得到了如下结论. 定理1假设a=0,b0及 (f1')f∈C(Ω×R+.R)和关于几乎处处x∈Q一致成立. (f2′)存在常数ρ,ρ4,使得0pF(x,t)≤f(x,t)t对于x∈Ω,t∈R+\{0}成立(其中F(x,t)是f(x,t)关于t的原函数,即F(x,f)=d0tf(x,s)ds对于x∈Ω及t∈R). 那么方程(1)至少有一个正解. 利用相似的方法,我们可以得到非退化情况下,有如下结论. 定理2假设a0,b0及 (ft)f∈C(Ω×R十,R)和关于几乎处处x∈Ω一致成立. (f2)存在常数ρ,ρ5,使得0ρF(x,t)≤f(x,t)t对于x∈Ω及t∈R+\{0}成立. 那么方程(1)至少有一个正解. 考虑下面的Kirchhoff型方程其中Ω是RN的非空有界开集,a,b0,f(x,t):Ω×R连续函数且是次临界增长的,即存在正常数C,使得 对于如下非线性问题的特征值且记最小的特征值为μ1. 我们利用山路引理,对于超线性增长的情况得出如下结论. 定理3假设f∈C(Ω×R,R)且满足(3)及 (F3)关于几乎处处x∈Ω一致成立. (F4)关于几乎处处x∈Q一致成立(其中λ1是(-△,H01(Ω))的首特征值). (F5)存在λλ1,使得当|t|很小时,有F(x,t)≤aλ/2t2成立.那么方程(2)至少有一个非平凡解.


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