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半线性椭圆方程双共振问题解的存在性和多重性

唐悦  
【摘要】:考虑以下半线性椭圆方程解的存在性和多重性问题 其中Ω (?) RN是具有光滑边界的有界区域,0λ1λ2λ3…λj…是-△在H01(Ω)中不同的特征值,h∈L2(Q)并且g∈C1(Ω×R,R)满足次临界增长条件|g(x,t)|≤C(1+|t|p-1)(1)对x∈Ω几乎处处成立.其中,1p2*, 当条件对x∈Ω几乎处处一致成立,问题(P)被称为双共振问题.本文主要研究双共振问题.首先研究首特征值问题,当k=1时,有以下定理成立. 定理2.1.假设(1),k=1成立.当|t|→∞时,有G(x,t)→-∞对x∈Ω几乎处处一致成立.且存在δ0,当0|t|δ时,有成立,其中m≠1,则问题(P)有三个不同的解. 此处及下文中a(x)≤b(x)表示在正测集上严格不等. 然后考虑对任意r∈Ω有h(x))=0时,问题(P)解的存在性与多重性有以下定理成立. 定理3.1.假设(1),h=0成立,且9满足 存在函数a∈L1(Ω)使得2G(x,t)-g(x,t)t≥α(x)(3) 对t∈R,x∈Ω几乎处处成立.存在Ω的正测度子集Q1,使得当|t|→∞时2G(x,t)-g(x,t)t→+∞(4) 对x∈Ω1几乎处处成立.则问题(P)至少有一个解. 定理3.2.假设(1),(2),(3),(4),h=0成立.且满足g'(x,0)≤λ1-λκ. 则问题(P)至少有三个非平凡解其中一正一负. 定理3.3.假设(1),(2),(3),(4),κ≥2,h=0,g'(x,0)=λm-λκ成立.且存在t110,t20使得λκt1+g(x,t1)=λκt2+g(x,t2)=0对x∈Ω均成立.如果9满足存在δ0,使得 对|t|≤δ,m≥2和k≠m成立,或 对|t|≤δ,m2和k≠m-1成立.则问题(P)至少有五个非平凡解.


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