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具有Hardy奇异项的半线性椭圆方程的解的存在性研究

蓝永艺  
【摘要】:本文我们利用变分法和一些分析技巧研究了三类具有Hardy奇异项(分别为具有广义次临界增长、具有双共振、具有Hardy-Sobolev临界指数)的半线性椭圆方程的解的存在性.具体内容如下: 首先,我们在第二章考虑如下的Dirichlet边值问题:其中Ω为RN(N≥3)中具有光滑边界aΩ的有界开集,O∈Ω,μμ (?)(N-2)2/4,f(x,t)为豆×R上的连续函数.我们考虑具有更一般的增长性条件的非线性项f(x,t)给出假设条件如下: (F1)对几乎处处x∈Ω一致,其中2*=2N/N-2为Sobolev临界指数. 我们得到了 定理1在(F1)和下面的(F2)-(F4)成立, (F2)存在α≥1,c0,使得对于任意t∈R,x∈Ω,Vs∈[0,1]都有成立,其中G(x,t):=tf(x,t)-2F(x,t). (F3)对几乎处处x∈Ω一致. (F4)对几乎处处x∈Ω一致.则对于任意的λ0,问题(0.1)有一个非平凡解. 随后,我们考虑λ=1的情形,即我们得到了 定理2设条件(F1)成立,且满足如下条件: (F5)存在θ∈(0,1/2),M0都是常数,使得对|t|≥M; (F6)对几乎处处x∈Ω一致; (F7)对几乎处处x∈Ω一致;其中ε0,λ1是-△-μ/|x|2在Dirichlet边界条件下的第一特征值. 则方程(0.2)至少有一个非零解. 在第三章我们考虑Dirichlet边值问题(0.2)的共振情形,得到了 定理3设如下条件成立:存在M00使得其中a和b是连续函数,且满足下列双共振条件其中λk(a)是-△-μ/|x|2-a在Dirichlet边界条件下的第k个特征值.以及成立着则方程(0.2)有一个解. 我们在第四章考虑下列具有Hardy-Sobolevl临界指数的半线性椭圆方程:我们假设k满足如下的条件之一 主要结果有如下的定理. 定理4假设条件(K)成立,且k(0)=0,k≠0.那么对于充分小的|ε|问题(0.3)存在一个正的径向解uε. 定理5假设条件(K)成立,且k∈C2(RN),k(0)k"(0)0.那么对于充分小的|ε|,问题(0.3)存在一个正的径向解uε. 定理6假设条件(K)成立,另外还假设那么对于充分小的|ε|问题(0.3)存在一个正的径向解uε. 定理7假设条件(K’)成立,且k(0)k"(0)0.那么对于充分小的|ε|,问题(0.3)存在一个正的径向解uε. 定理8假设条件(K')成立,且k(0)=0,k≠0.那么对于充分小的|ε|,问题(0.3)存在一个正的径向解uε.


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