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正则算子半群的扰动及其在M/M/1排队模型中的应用

商彦英  
【摘要】: 一个C-正则半群∣T(t)∣_t≥0称为压缩的,如果对任意的t≥0和x∈X都有‖T(t)x‖≤‖C_x‖。在本文中,我们首先考虑,压缩正则算子半群的扰动问题,得到如下结果: 定理2.1.1 设A、B是X中的稠定线性算子,使得D(B)(?)D(A)和对于0≤t≤1,A+tB是C-耗散的且CA(?)AC,CB(?)CB如果‖Bx‖≤α‖Ax‖+β‖x‖,对(?)_x∈D(A)成立 这里0≤α<1,β≥0,且对某个t_0∈[0,1],R(I-(A+t_0B))=X,则对(?)_t∈[0,1]都有R(I-(A+tB))=X。 定理2.1.2 设A生成一个压缩C-正则半群,ρ(A)≠φ,(?)=X且CA(?)AC。设B是C-耗散的,满足D(B)(?)D(A),CB(?)BC和‖Bx‖≤α‖Ax‖+β‖x‖,对(?)_x∈D(A)成立 这里0≤α<1,β≥0。则A+B是一个压缩C-正则半群的生成元。 定理2.1.3 设A生成一个压缩C-正则半群,ρ(A)非空,(?)=X且CA(?)AC,设B是C-耗散的,满足D(B)(?)D(A),CB(?)BC和‖Bx‖≤‖Ax‖+β‖x‖,对(?)_x∈D(A)成立 这里β≥0是一个常数。如果B的伴随B~*是稠定义的,则A+B的闭包(?)是一个压缩C-正则半群的生成元。 其次,我们讨论常微分方程形式的M/M/1排队模型 V。(t)一种。(t)十 pp() l+”()一一(又十P)乌(t)一地.1()十外刊()l>1 卜。(0)=lpN(0)一0 n=1,2,… 其中 P/ t)表示在时刻 t系统空的概率,pN*)表示在时刻 t系统里有 n个顾客的概 率,A>0是顾客的到达率,p>0是服务率。 我们运用算子半群理论,证明了此模型在序列空间C。上存在唯一非负的时间依赖 解,并且研究了相应算子的谱特征。我们有如下结果: 定理 3.3.2 在、上 Qc生成正压缩 C厂半群 TO〕 定理3.3.3 该模型在C。上存在唯一的非负解到t*且日八t厂与*t>0. 定理 4.* IQC的谱半径 r(Qc)二2门十一. 定理4.二.2 一2(人十八厂 (*). 最后,我们把压缩C一正则半群的扰动定理应用到M/M/1排队模型。有如下结果: 定理5.1.二 设在BanaCh空间C。上A生成一个压缩C一正则半群,puH空,D(A) =X且hcyAC,则 A+Q在 C。上生成一个压缩 C一正则半群。


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