特征标维数与可解群的结构

【摘要】： 利用特征标维数图刻画群的结构是受到广泛关注的群表示论中的重要研究课题。1985年以来出现了一系列研究成果，如文[5]，[9]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]，[24]。在文[10]中Mark L．Lewis对于有两个连通分支的有限可解群的结构作了完整的分类研究。在文[11]中Mark L．Lewis研究得出了满足条件(★)的一种拟连通的可解群的Fitting高至多是4。 条件(★)的定义：群G的特征标维数图Γ(G)的顶点集ρ(G)=π_1∪π_2∪{p}，其中|π_1|，|π_2|≥1，π_1∩π_2=Φ，且π_1与π_2中顶点不相邻。 在文[11]的基础上，我们进一步研究满足条件(★)的可解群。我们得到如下定理： 定理3．1 若G是有限可解群，且满足条件(★)。则2≤n(G)≤4，dl_p'(G)≤6。且G是例1-例20中的群之一。(见第三节) 1998年I．M．Isaacs与G．Knutson在文[7]中研究了非核特征标集合Irr(G|N)={X∈Irr(G)|N不包含在kerx中}对于正规子群N的影响。 因为NG时，我们有Irr(G)=Irr(G／N)∪Irr(G|N)。但显然特征标集合Irr(G／N)只能决定G／N的结构，因此正规子群N的结构及N对G的扩张性质应该由Irr(G|N)来决定。已有不少关于Irr(G|N)结果得出，如文献[18]，[7]，[8]等。本文对其中部分结果做了推广，考虑IBr_p(G|N)对正规子群N的结构及N对G的扩张性质的影响。得到下列结果： 定理4．1．5 NG，G／N是p'-群。则对任意的非线性φ∈IBr_p(G|N)，素数pφ(1)N有正规Sylow P-子群。 定理4.3.2G是介可解群，G/N是{了，矿}一群，N叼G.素数p笋q.若对所有 非线性沪任IB今(引N)有qi抓1).则N有一正规q-补. 定理4.3.4G是介可解群，G/N是沪群，N叼G.素数p尹q.若对所有非线性 沪任IB以GlN’)有q}试1).则N有一正规q一补. 早在1 957年B.HuPPert就在文{6!中给出了可解群G的导长dl(G)的一个对数界. 1986年J.Dixon在文12」中及1993年O.Manz，T.R.wolf在书【15』中都作了改进，我们在第 五节进一步”改进”(除特殊情况外)得到如下定理: 定理5.1设G是可解群. (a)若G三凡，则dl(G)三(7/3)1093(。).除非G望GL(2，3)二(23 xZ3)(9个文字上 的本原置换群)，这时dl(G)=5. (b)若V另。是任意域下上的n维忠实完全可约月a]模.则dl(G)三8+(7/3)1093(可5).