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含有非线性发生率和治疗项的传染病模型

张旭  
【摘要】: 本文主要研究了含有非线性发生率和治疗项的传染病模型的性态。第一章主要研究了含有分段形式治疗函数且忽略疾病致死率的SIS传染病模型。该模型所采用的非线性发生率涵包括盖了传统的双线性发生率和标准发生率。通过对模型的全局性态的分析我们可以对疾病治疗容纳量有一个很透彻的理解。在研究中我们发现模型存在着后向分支,并且当治疗容纳量比较小的时候将会出现双稳定的地方性平衡点。数学上的结果表明,要消除疾病,只将基本再生数R_0减小到1以下是不够的。提高治疗的有效性和增大治疗容纳量对于消除疾病有着重要影响。 第二章主要研究了含有分段形式治疗函数且考虑疾病致死率的SIS传染病模型,即是在第一章模型的研究基础上增加了一个疾病致死率,其发生率仍然是第一章中的非线性发生率。该模型的全局性态的分析显得更加复杂。通过数学分析和数字模拟我们发现模型仍然存在着多个地方性平衡点和后向分支。 第三章主要研究了含有饱和治疗函数和饱和的非线性发生率的SIR传染病模型。其中的治疗项采用了一个连续可微的函数,描述了在医疗条件有限的情况下患病者的治疗被耽误的影响和患病个体的数目增大所引起的饱和效应。通过对模型的全局性态的分析我们发现,当患病者治疗被耽误的影响比较弱时,基本再生数等于1对于疾病的控制是一个严格的分界点。反之,当这种影响较大时,只将基本再生数R_0减小到1以下对疾病消除是不够的。于是我们进一步推导了参数在转折点的临界值并作为疾病控制的一个新分界点。我们还得到了无病平衡点和地方性平衡点全局稳定的充分条件。本章结果表明,给予病人及时的治疗,提高治疗的有效性和减少感染系数都是控制疾病的有效方法。


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