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具有非线性边界条件的椭圆方程解的存在性和多重性

李虎  
【摘要】: 本论文主要研究带有非线性边界条件的椭圆方程.用变分法和一些分析技巧得到了其解的存在性和多重性.首先我们讨论了下面椭圆系统解的存在性和多重性这里Ω是R~N(N≥3)中的有解区域,具有光滑边界(?).我们定义R_2~+=[0,∞)×[0,∞).F:R_2~+→R和G:R_2~+→R满足: (g_1)F,G∈C~1(R_2~+);对所有(y,z)∈R_2~+,F(y,z)≥0和G(y,z)≥0;F(y,z)(?)0和G(y,z)(?)0. (g_2)存在(?)和1β2使得对所有的t≥0和(y,z)∈R_2~+有F(ty,tz)=t~αF(y,z)和G(ty,tz)=t~βG(y,z). (g_3)对所有的z∈[0,∞),我们有F_y(0,z)=0和G_y(0,z)=0:对所有的y∈[0,∞),我们有F_z(y,0)=0和G_z(y,0)=0. (g_4)存在一个常数M~*使得F_y(y,z)≥M~*y和F_z(y,z)≥M~*z对所有的(y,z)∈R_2~+成立. 我们得到下面的定理:定理1.如果F和G满足(g_1)-(g_4),那么存在λ~*0,使得对所有0λ(?),系统(1),至少有两个正解. 接下来本文讨论了如下椭圆方程这里0∈Ω(?) R~N是一个带有光滑边界的有界区域,0≤μ(?),1≤q2p≤2~*=(?),λ0.主要结果是下面的定理:定理2.假设1q2p≤2~*,0≤μμ~*.存在λ_00使得对所有0≤λλ_0方程(2)有一个解序列u_k(?)H~1(Ω),满足I(u_k)<0,I(u_k)→0当k→∞.定理3.假设1q2p2~*,0≤μμ~*.存在λ_00使得对所有0≤λλ_0方程(2)有一个解序列uu_k(?)H~1(Ω),满足,I(u_k)0,I(u_k)→∞当k→∞.


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