加权分支过程的单调性，对偶性和Feller性质

【摘要】： 关于Markov过程理论的研究通常有概率方法和分析方法.近年来,数学家用分析的方法来研究Markov过程理论,并取得了丰硕的成果.本文着力于用分析的方法来研究一类重要的Markov过程一加权分支过程. 主导分支过程的基本性质是分支性质,即不同的粒子在出生或死亡之时都是相互独立的.但在很多实际情况下,分支性质不总是能反映粒子运动的真实情况.事实上,不同粒子之间是相互影响的,所以许多数学家都致力于推广已有的分支过程,其中特别有趣的一类广义分支过程是加权分支过程. 加权分支过程是一类重要的时间连续Markov链,它的状态空间是E=Z_+={0,1,2,…},其转移函数是P(t)={p_(ij)(t);i:j∈E=Z_+)并且满足Kolmogorov前项方程: 而其q-矩阵Q=(q_(ij);i,j∈E)定义为:其中:b_j≥0(j≥1),d0,ω_j0(j≥1),0b=(?)+∞ 这类过程的正则性和唯一性准则已经在文献[2]中讨论了,而本文主要研究它的其他几个相关性质:对偶性,单调性和Feller性质.为了系统地了解加权分支过程,本文在第一章预备知识中给出一些关于Markov链的基础知识和基本概念;因为加权分支q-矩阵Q是保守的,所以我们在第二章讨论了当矩阵Q为保守时,其最小Q-函数分别为单调,对偶和Feller的充要条件,这些结论都可以在文献[3]中导出,但由于这里Q是保守的,所以我们给出的证明比文献[3]简单得多;接着在第三章里我们介绍了加权分支过程并给出一些结论为下面讨论其性质做准备;然后加权分支过程的对偶性,单调性和Feller性的判别准则就在第四章给出;最后给出一些容易判断其性质的充分条件.本文的主要结果有: 定理4.1.2(单调性)加权分支q-矩阵Q的最小Q-函数F(t)是单调的当且仅当以下条件成立: (1)(?) (2)以下条件之一成立: (a) d≥m_b (b) d m_b+∞并且(?) (c)m_b=+∞并且(?) 定理4.1.3 (对偶性)加权分支q-矩阵Q的最小Q-函数F(t)是对偶的(相对于某单调函数)当且仅当以下条件成立: (1)(?) (2)以下情况之一成立: (a)(?)=+∞ (b)(?)+∞并且dm_b≤+∞ (c)(?)+∞并且(?)R_n=+∞ 其中:R_0=1;R_n=(?) 定理4.1.4(Feller准则)F(t)是加权分支q-矩阵Q的最小Q-函数,有以下结论成立: (1)当dm_b≤+∞,F(t)总是Feller的 (2)当d≥m_b,F(t)是Feller的当且仅当(?)R_n=+∞ 其中:R_0=1;(?) 备注如果,(?)=+∞,则F(t)是Feller的. 当Q为比较简单的矩阵时,验证(?)R_n=+∞比较容易.但在一般情况下,验证(?)R_n=+∞不总是容易的,因为给出的序列{R_n;n≥1}是递推的形式.因此我们给出以下充分条件判断: 定理5.1.1对于加权分支q-矩阵Q,设q是U(s)在[0,1]上的最小解,那么有: (1)如果(?),则Q是零入 (2)如果(?),则Q是非零入 (3)如果(?)存在,并且如果ω(?),Q是零入;如果ω(?),Q是非零入的 推论5.1.2对于满足ω_n≤ω_(n+1):(n≥1)的加权分支q-矩阵Q,这时(?)=ω存在,设q是U(s)在[0.1]上满足0q1的最小解,那么有 (1)假设d≥m_b (a)若ω1,则F(t)对偶,Feller和单调 (b)若ω1,则F(t)是单调,但是既不对偶也不Feller (2)假设dm_b+∞ (a)当ω(?)时,那么F(t)是对偶并且Feller;若再满足(?)=+∞,则F(t)单调 (b)当ωj时,并且 若满足(?)+∞,则F(t)是对偶且Feller 若满足(?)=+∞,则F(t)单调 (3)假设m_b=+∞ (a)当ω(?)时,F(t)是对偶且Feller;并且若满足(?)=+∞那么F(t)是单调的 (b)当ω(?)时,并且 若满足(?)+∞或者(?)和(?)+∞,那么F(t)是对偶且Feller 若满足(?)=+∞则F(t)是单调的