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双线性KdV方程和高阶色散Schr?dinger方程的孤波解

李凌飞  
【摘要】:非线性偏微分方程描述了相关未知变量关于时间的导数与空间的导数之间的制约关系,并且在很多领域扮演了非常重要的作用,例如,声学、流体动力学、电动力学、非线性光学和光子学.因此,寻求非线性偏微分方程的精确解是非线性科学研究的核心问题之一.目前,人们已经建立了许多构造精确解的有效方法,如B?cklunud变换法,Hirota双线性法,以及各种函数展开法.本文运用Jacobi椭圆正弦函数展开法,拟设函数法以及多项式完全判别系统法,分别得到了两类非线性偏微分方程的行波解,其中包含大量的新解.在第一章中,我们介绍了双线性KdV方程和高阶色散Schr?dinger方程的研究背景以及发展历程.在第二章中,研究了双线性KdV方程,它是Korteweg和de Vries在研究浅水中小振幅长波运动时共同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程.本文利用Jacobi椭圆正弦函数展开法和拟设函数法,在不同的条件下,得到了相应的精确解,包括Jacobi椭圆函数解,周期解和孤波解等.在第三章中,研究了高阶色散Schr?dinger方程,它是一种描述微观粒子的运动的偏微分方程.本文利用多项式完全判别系统法,在不同条件下,得到了一系列的新解,其中包括三角函数解,扭结解,暗孤波解,Jacobi椭圆函数解,有理函数解以及隐函数解等.


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