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孤立子理论与非线性发展方程的精确解

周钰谦  
【摘要】: 本文基于现有的孤立子理论与现代计算机技术,运用齐次平衡法及tanh函数法,研究了多种具有物理背景的非线性发展方程。在已有的基础上寻找它们新的孤立子解及其它新精确解,并推广发展了tanh函数法。 首先,我们利用Riccati方程v′=b_1+b_2v~2作为“扰动”方程,构造了一系列非线性发展方程的精确孤立子解,其中包括: 一类反应扩散方程: u_t-δu_(xx)+λ(u~3+au~2+βu)=0,其中a,δ,λ,β为常数。 耦合Klein-Gordon-Schr(?)dinger方程(KGS): 一类非线形波动方程:其中a_1,a_2,a_3,a_4为常数。 推广的Bergurs-BBM混合型方程(B-BBM): 借助工程软件matlab,我们不仅得到了它们已有的孤立子解,还得到了一种激波形式的孤立子解、三角函数周期解及有理解,并给出了这些解的精确数值仿真。 接着,我们调整“扰动”方程的形式为v′=k(1-v~2),利用对解的新假设, 重新构造了一类反应扩散方程和一类非线形波动方程的孤立子解,发现它们都 有一种复线性孤子解。利用matlab的数值仿真我们看到这种复线性孤子解的实 部由一个扭状的孤波组成,而其虚部是一个钟状的孤立波。 然后,我们将v’=:丫e。+c,v+c Zv’+c3v3+e4v‘的形式解作为展开项从整 体上重新构造了KGS方程的孤立子解。利用“扰动”方程中参数的不同取值, 不仅得到了see hZ型的孤子解,还得到了tanhZ型的孤子解、三角形式的周期解、 有理解、Jacobi椭圆函数解和V怂lerstrass椭圆函数解。 最后,我们研究了2+l维非线性色散长波方程 ·,+·。+合(·’)。一0,(1) v,+(uv+u+u。):=0.(2) 巧妙的发现了(1)与(2)之间的自变换,将这个方程组转化为一个简单的偏微分 方程,并利用齐次平衡法得到了此方程与热传导方程之间二维形式的物pf-cofe 变换,从而借助M胡ab的符号运算得到了2+l维非线性色散长波方程包括多孤 子解在内的多种新精确解。


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