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最小时间函数的变分分析

蒋毅  
【摘要】: 在最优控制领域中,最小时间函数是一类值函数,研究最小时间函数的性质是一个重要的课题;在非光滑分析领域中,最小时间函数以距离函数为特例,而距离函数在非光滑分析中扮演着非常重要的角色. 本论文分析最小时间函数的微分性质,及其相关的正则性.由于最小时间函数一般是不可微的,因此我们主要研究其广义微分(也称为次微分),特别是最小时间函数次微分能够用法锥和最小Hamiltonian函数刻画的性质. 首先,我们考虑了具有常值映射微分包含的最小时间函数,即集值映射的取值为固定的集合U.在一般的赋范线性空间中,我们给出了最小时间函数的良定性,证明了最小时间函数的Fr′echet和近似次微分能表示为其对应的法锥和U的支撑函数的次水平或水平集,并应用其证明最小时间函数的正则性.同时,用例子说明集合U的有界性是不可少的.与已知的结果比较,不要求集合U是对称的;不要求原点是集合U的内点,实际上U的内点可以为空集. 在此基础上,我们考虑了动态目标集的最小时间函数.通过运用Ekeland变分原理,构造辅助函数,证明最小时间函数的良定性,给出了ε?次微分的相关结果,从而证明了最小时间函数的极限次微分等于其对应法锥及U的支撑函数的次水平或水平集. 进一步,我们证明了线性控制系统的最小时间函数的近似次微分和Fr′echet次微分能够用法锥和最小Hamiltonian函数刻画. 此外,在Bananch空间中,我们考虑了半线性控制系统的最小时间函数,由半线性系统对应的Yosida近似方程,得到了最小时间函数的正则性,特别地,给出了Yosida近似方程的最小时间函数和半线性控制系统的最小时间函数之间的关系,最终证明了最小时间函数的近似次微分能够用法锥和最小Hamiltonian函数刻画. 最后,我们考虑非常值映射微分包含所决定的最小时间函数.在Hilbert空间中,得到了最小时间函数的良定性,证明了Fr′echet次微分的不变性,进而得到了最小时间函数近似次微分和Fr′echet次微分的相关结果.


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