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关于Jes'manowicz猜想

李士荣  
【摘要】: 不定方程不仅自身发展异常活跃,而且全面应用于离散数学的其他各个领域,它对人们学习研究和解决问题有着重要的作用。因此,国内外有诸多学者对不定方程进行着广泛而深入的研究。本文研究的Jes'manowicz猜想:当(a,b)=1,a b,2|ab,不定方程(a~2-b~2)~x+(2ab)~y=(a~2+b~2)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),是指数型不定方程中的一个重要的问题。从1956年Jes'manowicz提出到现在已经有几十年的时间,在这期间,不少学者对其进行了研究。 本文在尽量减少约束条件的情况下,利用四次剩余和四次互反律,得到六个重要的定理,证明了对于某些特殊的商高数组猜想成立,为猜想的最终证明向前推进一步。猜想的成立关键是要证明x,y,z均为偶数。本文将给出xy为偶数的一个充分条件;同时在某些情况下减弱a或a+b含某个4k-1形的素因子这个约束条件后证明了猜想是成立的;以及在a=0(mod4),b=1(mod4)情况下,不加任何其他限制条件,归纳两类特殊的情况,证明了此时猜想是成立的。 本文的主要结果在第三章给出。


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