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矩阵和高阶张量特征值的定位与估计

李朝迁  
【摘要】:矩阵特征值问题是矩阵理论研究的主要课题,在许多学科中具有重要应用.对矩阵特征值问题的研究主要集中在两个方面:矩阵特征值的定位,即在复平面上给出包含矩阵所有特征值的区域;特征值的计算(估计),即给出特征值的界或近似值.本学位论文对这两方面问题进行了研究,获得了如下结果:对矩阵特征值的定位问题,给出了两个新的矩阵特征值包含区域,并证明了所得的区域比经典的Gersgorin圆盘定理,Brauer卵形定理,和文献[L. Cvetkovic, V. Kostic, R. Bru and F. Pedroche. A simple generalization of Gersgorin's theorem. Adv. Comput. Math.,2011,(35):271-280]中的区域更小.进-步,利用分块技术得到了另外两个矩阵特征值包含区域,并证明了所得的区域比分块形式Gersgorin圆盘定理的区域更小;对矩阵特征值的估计问题,给出了两类重要矩阵,即具有Perron—Frobenius性质的矩阵和广义M-矩阵的特征值界的估计式,并分别证明了所得的估计式优于[D. Noutsos. On Perron—Frobenius property of matrices having some negative entries. Linear Algebra Appl.,2006,(412):132-15]和[G.X. Tian and T.Z. Huang. Inequalities for the minimum eigenvalue of M-matrices. Electron. J. Linear Algebra,2010,(20):291-302]中的估计式. 本文的另一方面工作是研究了矩阵的高阶推广-张量的特征值问题.张量在许多科学领域,如信号处理,数据分析与挖掘等有重要的应用.本学位论文对张量的特征值定位与估计问题进行了研究,得到了两个张量特征值定位定理,利用其给出判定偶次齐次多项式正定性的条件.同时构造了-个判定偶次齐次多项式正定性的算法,文中数值例子表明了算法是可行的和有效的.进-步,给出了非负张量最大特征值的上界和下界,并证明了所得的界优于文献[Y. Yang and Q. Yang. Further results for Perron—Frobenius theorem fornonnegative tensors. SIAM. J. Matrix Anal. Appl.,2010,(31):2517-2530]的界.


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