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非线性差分方程的周期解、同宿轨及边值问题

陈鹏  
【摘要】: 数学、物理学、化学、生态学及经济学等学科产生的非线性差分问题,正日益引起人们的重视.目前,已有许多学者对非线性差分问题解的存在性与多重性利用不同的方法进行了深入和广泛的研究.这些方法主要有变分法、拓扑度法、单调迭代法与Kaplan-Yorke混合系统法等. 微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在性、解的个数等.变分理论涵盖的内容非常广泛.本文主要利用临界点理论中的的最小作用原理、极小极大原理、环绕定理及山路引理、三临界点定理等研究非线性差分方程(组)的周期解、同宿轨道及边值问题. 全文共分七章. 第一章是绪论,介绍了研究问题的背景、现状以及我们的主要工作; 第二章利用环绕定理研究了一类二阶p-Laplacian算子差分方程周期解的存在性.当非线性项在超线性条件下,我们构造了对应问题的变分泛函,得到了系统至少存在两个非平凡的周期解; 第三章讨论了一类高阶耦合差分系统周期解的存在性.在加入了具有超线性项和次线性项的扰动项下,运用乘积空间上的环绕定理,证明了系统至少存在三个非平凡周期解,推广了原有的工作; 第四章研究了一类具变号位势自共轭差分系统同宿轨道的存在性问题.利用临界点理论中的山路引理和对称形式的山路引理,我们得到了同宿轨道的存在性与多重性结果; 第五章采用另一种方法克服因同宿轨在无界区域上取值,利用函数分解技巧和延拓的思想,考虑了一类二阶非自共轭差分方程的同宿轨与偶同宿轨问题; 第六章利用三临界点理论研究了离散的p-Laplacian方程,分别考虑非线性项在连续和不连续情形下解的存在性与多重性问题; 第七章是结论与展望.


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