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直接代数法和近似同伦直接约化法的若干应用

李艳  
【摘要】:在自然科学领域,由于线性理论的日益完美和研究的深入,非线性科学得以在各个研究领域日益蓬勃发展,成为了研究重点. 随着对非线性系统的研究,无法避免地,要处理各种各样、刻画非线性现象的非线性偏微分方程,而对于这类方程如何求解以及解所具有的性质的探讨,自然成为研究工作的重要课题. 在研究过程中,考虑如耗散、色散以及外加驱动等等因素的影响,许多问题往往归结为带有扰动项的非线性偏微分方程,需要寻求其约化和近似解,研究扰动问题的方法也应运而生.结合了拓扑学中的同伦概念,扰动理论,CK直接约化法和同伦分析法而得到的近似同伦直接约化法,在求解方程的单孤子解方面,以及处理强扰动问题等方面十分有效. 本文运用直接代数方法和近似同伦直接约化法,借助符号计算软件Maple,对一些非线性偏微分方程组和扰动的非线性偏微分方程进行研究,文章的内容和结构安排如下: 第一章,简介了非线性系统的研究背景和发展,简述了扰动的非线性系统的求解方法,介绍了同伦模型以及近似同伦直接约化法. 第二章,运用直接代数方法给出了一些非线性偏微分方程组的精确解,包括二元几何mKdV方程和Hirota-Satsuma方程组. 第三章,运用近似同伦直接约化法,对一些扰动的非线性偏微分方程进行研究,获得它们的约化和无穷级数解. 最后,对本文的研究进行相应的总结,提出了一些有待进一步研究的问题.


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