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偏微分方程守恒律研究

时振华  
【摘要】:随着科学的不断发展,人们已经意识到非线性现象在自然界和人类社会领域广泛存在.在非线性系统的研究中守恒律扮演着越来越重要的角色.从本质上说,守恒律源于对称,而守恒律与对称的研究也经历了从相互独立到相互综合的过程.在偏微分方程的线性化,可积性方面守恒律有重要的作用,有助于得到偏微分方程的解析解和数值解.众所周知,在偏微分方程的守恒律研究中, Noether定理起着重要的作用.但是对于发展方程Noether定理无法得出他们的守恒律.为了解决这个问题出现了特征值法,变分方法等.另外,对于带扰动的项的偏微分方程近似守恒律由Baikov和Ibragimov在非扰动偏微分方程守恒律的基础上给出了定义,并进行了相关的研究得到了许多好的结论. 本文具体安排如下: 第一章,介绍了守恒律是如何提出的,有何意义以及守恒律的基本知识并规定了文中使用的符号. 第二章,总结了守恒律以及近似守恒律的构造方法. 第三章,构造了若干非线性发展方程的守恒律.本章利用第二章介绍的求守恒律的方法,计算了非线性热方程ut=2uu2/x+u2uxx-ux守恒律,(2+1)维热方程的守恒律ut=2ux2u+u2uxx+uy2+uuyy守恒律,非线性波方程utt=(?)ux2+ A(u)uxx+(?)守恒律,Black-Scholes方程ut+Ax2uxx+Bxux+Cu=0的守恒律,Maxwellian方程utx+ux+u2=0的守恒律,带扰动项的非线性麦克斯韦尾方程uxt+ux+u2+εut=0的守恒律.


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