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非可换逻辑代数的滤子及模糊化理论

王伟  
【摘要】:非可换逻辑代数是非可换逻辑相应的代数结构.BL代数是基本逻辑(Basic Logic)系统的代数结构,而伪BL代数是BL代数的非可换推广.非可换剩余格又是伪BL代数、伪MTL代数等的推广.我们在研究工作中,发现上述非可换逻辑代数结构可以通过滤子及模糊滤子来进行研究和刻画.因而,本文主要研究了几类非可换逻辑代数中的滤子及模糊滤子的理论,为非可换逻辑代数的深入研究奠定了坚实基础.我们所做的具体工作如下: 1.引入并讨论了伪BL代数的模糊滤子、模糊素滤子、模糊布尔滤子、模糊正规滤子、模糊超滤子和模糊固执滤子,研究了相应模糊滤子的性质.由分配格中Stone模糊素理想定理启发,我们在伪BL代数中建立模糊素滤子定理.通过讨论几类模糊滤子之间的关系,特别是模糊布尔滤子和模糊正规滤子的关系,我们解决了一个公开问题,即“在伪BL代数中是否每一个布尔滤子都是正规的.” 2.引入并讨论了伪BL代数的超滤子和固执滤子,讨论了伪BL代数的布尔滤子和正规滤子的关系,采用非模糊化的途径给出了上述公开问题的一种新的解决方法. 3.我们将上述有关工作推广到了剩余格,引入并讨论了剩余格的模糊滤子、模糊素滤子、模糊布尔滤子、模糊正规滤子、模糊超滤子和模糊固执滤子,研究了相应模糊滤子的性质.我们在剩余格中建立模糊素滤子定理.通过讨论几类模糊滤子之间的关系,特别是模糊布尔滤子和模糊正规滤子的关系,我们在剩余格中研究了相应的问题. 4.引入了剩余格的伪G滤子、伪MV滤子、超滤子和固执滤子,研究了相应的性质,特别是研究了布尔滤子和正规滤子的关系. 5.引入了Heyting代数的布尔滤子、素滤子、蕴含滤子、正蕴含滤子、超滤子和固执滤子,定义了Heyting代数的模糊滤子、模糊布尔滤子、模糊素滤子、模糊蕴含滤子、模糊正蕴含滤子、模糊超滤子和模糊固执滤子,并讨论了其相应的性质.进一步,我们证明在Heyting代数中,模糊布尔滤子等价于模糊蕴含滤子,模糊正蕴含滤子等价于模糊滤子,并讨论了这几类滤子之间的关系.最后,我们研究了Heyting代数的直觉模糊滤子,讨论了相应性质,证明了Heyting代数上的上的直觉模糊格滤子等价于直觉模糊滤子.


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