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Bezout的代数方程理论之研究

周畅  
【摘要】:Etienne Bezout是18世纪法国的一位数学家,他的研究集中在代数学中的一个方向——方.程理论上。18世纪代数方程发展的方向之一就是方程组理论,求解方程组的消元法也在此期间发展壮大, Bezout消元求解方程组所用的多项式乘数法是得到最广泛认可的消元方法,并且成为现代多项式优化算法中运用多项式乘数的算法依据;Bezout求结式次数得到的Bezout定理是其理论中最耀眼的成就之一,成为代数几何中的基础定理而应用广泛;而且,Bezout关于结式的工作开启了现代消元理论研究的大门,在其影响和推动下,Lagrange和Cauchy精炼了消元过程、而Sylvester完成了关于结式和惯性形式的工作。关于消元法的历史考察对了解整个代数学史的发展有重要意义,而Bezout是方程组消元理论的先驱之一,国外的部分学者针对Bezout代数方程理论并没有任何系统全面的研究,因此Bezout理论的主旨思想有待深入细致地挖掘探讨。 本文在前人工作基础上,利用历史分析、比较研究的手法,基于原始文献,深入分析了Bezout在解方程组理论中使用的多项式乘数法的数学思想;系统梳理了十八世纪西方消元理论的发展脉络,并对这些消元方法进行比较研究;给出了Bezout定理的数学陈述及其证明;总结了Bezout关于结式次数的工作并探讨了其方法比之前人的优越性所在;探讨了Bezout定理在代数几何中的具体应用以及典型范例;回顾了Bezout的结式理论在几何学中两个多世纪的发展历程及其深远影响。具体研究成果如下: 一、详细分析了Bezout的消元方法,其主要思想就是多项式乘数法。探讨了Bezout给出的两种多项式乘数法的数学思想、成因及其特点,并说明了Bezout创立这两种方法的动因;讨论了Bezout定理的数学陈述及其证明;同时指出,Bezout的多项式乘数法是现代多项式优化算法中多项式乘数法的理论依据。 二、其次对18世纪西方的方程组理论也即消元理论进行了系统梳理,探讨了Bezout消元理论的发展轨迹以及对于后面消元工作的影响和意义。消元理论肇始于Newton《普遍算术》(Arithmetica universalis,1707)中关于一些特殊情形的消元法则。然后是Euler接棒迈出了重要的下一步,Euler早期的消元工作受到曲线交点研究的启发,这与当时Cramer的研究焦点一致,并且两人各自得出相近的结果。与此同时,Bezout研究了Newton的法则以及Euler和Cramer早期的工作,并将范围扩大至方程次数不同时以及未知数与方程个数更多的情形,他关于结式的工作开启了现代消元理论研究的大门。 三、研究了Bezout关于结式次数的工作,并探讨了他和Euler对于结式次数得到不同结论的原因,Bezout首先发现解方程组得到一个更高次数的方程即结式并不是如前人所言是所使用方法不当所致,而是解方程的一个必然结果,即结式次数要高于原方程次数。他在指出Euler等人的消元方法失败的原因同时,对消元方法进行了成功的改进。 四、给出了Bezout定理在代数几何中的具体应用以及范例,讨论了Bezout定理的弱形式和强形式,并且对代数闭域上的Bezout定理的一些经典案例与非经典案例进行了分析,其中穿插讨论这些案例的历史背景,揭示了Bezout定理的发展历程。 五、最后讨论了Bezout的结式理论在几何学中的影响,阐述了由结式理论衍生出的一些重要几何理论,简短地回顾了结式次数定理发展的可能性,对在几何学中可以体现Bezout定理价值的一些理论进行了探讨及展望。


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