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MTL-代数的稳定化子及两类逻辑算子研究

王军涛  
【摘要】:独异点三角模逻辑(monoidal triangular norm based logic),简记为MTL,是一类非常重要的模糊逻辑,它是所有左连续三角模及其剩余的模糊逻辑的共同公理化.随着对基于三角模逻辑研究的不断深入,各种逻辑代数作为其语义系统被相继提出,其中MTL-代数是一类最重要、最基本的逻辑代数,因为几乎所有基于三角的模逻辑系统都是以它为基础来建立相应代数语义.本文主要研究了MTL-代数上的稳定化子、真值算子以及相似算子理论,尝试刻画几类特殊MTL-代数的代数结构,为研究MTL-逻辑系统中命题变元的真假程度提供代数方法,为证明相似MTL-逻辑系统的完备性奠定了代数基础.研究的主要内容如下:1.第二章引入了MTL-代数上的稳定化子.首先,研究了几类特殊稳定化子的性质,给出了左,右蕴涵稳定化子相等的刻画,并刻画了IMTL-代数,整MTL-代数,MV-代数以及(线性)G¨odel代数.其次,讨论了MTL-代数中稳定化子与零化子之间的关系,得到了MTL-代数中的蕴涵稳定化子和零化子是等价的.最后,讨论了几类稳定化子之间的关系,得到了MTL-代数中任意非空子集的右蕴涵稳定化子和右乘稳定化子是序同构的,IMTL-代数中任意非空子集的蕴含稳定化子与对合稳定化子是等价的.应用本章的主要结论解决了文献[Motamed S.,Torkzadeh L..A new class of BL-algebras[J].Soft Computing,2017,21:687-698]中的2个公开问题.2.第三章研究了MTL-代数上的真值算子.首先,建立了真值MTL-代数的公理化系统,通过研究真值算子刻画了G¨odel代数和MV-代数.其次,着重研究了真值MTL-代数上的真值滤子,利用真值滤子刻画了次直不可约真值MTL-代数,单真值MTL-代数以及可表示的真值MTL-代数,并讨论了全体真值滤子构成集合VF[L]的代数结构,得到了VF[L]关于包含关系构成了一个完备Heyting代数.最后,建立了真值MTL-代数对应的逻辑系统,证明了真值MTL-逻辑系统的线性完备性和可靠性.3.第四章引入了MTL-代数上的相似算子.首先,建立了相似MTL-代数的公理化系统,通过研究相似算子的性质,给出了保序相似算子的刻画,讨论了相似算子和等价算子的关系,并建立了真值MTL-代数和相似MTL-代数相互构造的方法.其次,研究了相似MTL-代数上的相似滤子,利用相似滤子刻画了可表示的相似MTL-代数.最后,引入了(可表示)相似MTL-代数对应的逻辑系统并证明其线性完备性和自然扩张性.


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