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基于相等代数的几类代数结构上的态和内态的研究

程晓云  
【摘要】:相等代数是高阶模糊逻辑对应的代数系统,伪相等代数是相等代数的非可换推广,超相等代数是相等代数的提升.因为等价相等代数等价于BCK-交半格,BCK-代数是BCI-代数的真子类,故BCI-代数可看作等价相等代数的推广.本文研究基于相等代数的三类代数结构:BCI-代数、伪相等代数、超相等代数上的态理论.一方面,通过态和内态研究了逻辑代数的结构;另一方面,通过代数方法进一步完善模糊逻辑中的概率问题.第二章研究了BCI-代数上的内态.首先,构建BCI-代数上的内态的公理化体系,并给出一些非平凡例子,讨论了态理想、极大态理想和素态理想之间的关系,证明了在态BCI-代数中,全体闭态理想之集SIC(L,λ)和全体态同余之集Con(L,λ)之间存在一一对应,找到了非平凡次直不可约态BCI-代数的像空间λ(L)成为L的非平凡次直不可约子空间的条件.其次,引入BCI-代数上的state内态射,通过state内态射和内态,对可换BCI-代数、p-半单BCI-代数、(正)关联BCI-代数进行了刻画.最后,引入BCI-代数上的左-右(右-左)态乘子,讨论了左(右)态乘子和左(右)导子的关系,得到了L上的内态λ是左右(右左)态乘子当且仅当λ是左右(右左)导子.而且,借助左(右)态乘子,刻画了几类特殊BCI-代数.第三章研究了伪相等代数上的态.首先,引入伪相等代数上的广义态映射(简称GS-态),包括两类特殊情况:广义态(简称G-态)和广义内态(简称GI-态),给出了GS-态,G-态和GI-态的一些实例,得到了它们的一些性质.其次,研究了伪相等代数上的Bosbach态和Rie(?)an态,探讨了这两类态的存在性,给出了Bosbach态的刻画;重点讨论了伪相等代数上的Bosbach态、Rie(?)an态及state态射之间的关系,证明了线性伪相等代数上的state态射和Bosbach态等价及对合伪相等代数上的Bosbach态和Rie(?)an态等价.最后,探讨了伪相等代数上的广义态映射、态及内态之间的内在联系,得到如下重要结论:借助内态(或state内态射)μ,可以将态从像空间μ(X)拓展到整个空间X上.此外,从一定意义上说,伪相等代数上的广义态映射可以看作态、内态、state态射及state内态射的统一框架.第四章研究了超相等代数上的态和内态.首先,将超理论知识应用到相等代数中,建立了超相等代数系统,它是相等代数的合理推广;给出各类超滤子和超推理系统的概念,并讨论了它们之间的关系.建立了超相等代数和超EQ-代数、超BCK-代数及弱超剩余格之间的联系.同时,通过正则超同余关系构建了商超相等代数.其次,引入超相等代数上的Bosbach态和Rie(?)an态,找到了这两类态存在的例子;借助θ-不变Bosbach态s,诱导了商超相等代数H/θ上的Bosbach态s.最后,引入超相等代数上的内态,给出了态强超推理系统的生成表示,研究了超相等代数在态作用下的像和原像,证明了格序可分好态超相等代数的极大态强超推理系统是素态强超推理系统.而且,通过内态诱导了商超相等代数上的内态.


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