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长程关联可积系统精确解的研究

曹俊鹏  
【摘要】: 本文以Gaudin模型、Calogero-Sutherland模型和Sutherland-Romer模型为例,详细讨论 了长程关联可积模型的构造,在周期性和开边界条件下这些模型的严格解,以及系统的 热力学性质。本文第一部分简单介绍了精确可解模型和强关联电子系统的基础知识。本 文第二、三部分,我们在对有理型和三角型各向异性具有SU(N)对称性的自旋链取准经 典极限的基础上,构造了具有SU(N)对称性的有理型和三角型Gaudin模型的哈密顿量 和哈密顿量的生成函数。然后在最高权表示下,详细讨论了Gaudin模型的本征态和本征 值,同时给出了Bethe ansatz方程。其中量子行列式和转移矩阵起了关键性作用。本文第 四、五部分在更复杂的阶化空间讨论具有SU(1|2)和SU_q(1|2)对称性的Gaudin模型。我 们首次给出了在费米、费米、玻色基下的超量子行列式的定义。此时非常好的出发点则是 强关联电子系统中的超对称t-J模型和推广的t-J模型。通过对这些系统取准经典极限, 我们精确地给出了Gaudin模型本征态的具体形式,利用阶化的量子反散射方法,我们得 到了哈密顿量和哈密顿量生成函数的本征值。本文第六部分则对具有分子场的、相互作 用势为sinh~(-2)r的Calogero-Sutherland模型的精确解及其热力学性质作了讨论。通过定义 带内禀自由度(自旋)的Dunkl算子,我们得到了两组分的Calogero-Sutherland模型, 证明了自旋向上与自旋向下的粒子间没有相互作用。体系的所有守恒量都可以通过自旋 Dunkl算子构造,然后我们证明了不同的守恒量彼此间相互对易,从而系统可积。再利用 渐近Bethe ansatz方法,得到了两体散射矩阵,解热力学Bethe ansatz方程,继而讨论了 系统的基态与激发态,得到了系统的自由能、磁化率、比热等热力学参量。对sinh~(-2)(r)相 互作用势取有理极限,我们的结果包含了平方反比作用势的散射矩阵。因此,我们又讨论 了系统在有理极限下的热力学性质。本文第七部分则对开边界的Sutherland-Romer模型 作了讨论。通过定义非常巧妙的Dunkl算子,我们得到了开边界的、具有长程相互作用势 (Sinh~(-2)r和-cosh~(-2)r)的Sutherland-Romer模型。该系统是一个一维两组分量子多体 问题。其中全同粒子间相互吸引势为sinh~(-2)r;非全同粒子间相互排斥势为-cosh~(-2)r。 组分可以理解为自旋、色或电荷。通过解非线性Schrodinger方程和应用特殊函数(如: 超几何函数、г函数)的性质。我们得到了两体散射矩阵和反射矩阵。利用量子反散射 方法和非常巧妙的波函数连接条件,讨论了系统在开边界条件下的行为,给出了系统的 本征态,本征值以及相应的Bethe ansatz方程。


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