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高维量子Hall效应,非对易Torus上的孤立子及可积模型的研究

彭丹涛  
【摘要】: 在回顾了Haldane在2维球面S~2上对量子Hall效应的描述和张首晟与胡江平对量子Hall效应在4维球面S~4上的推广后,我们构造了S~2和S~4上的非对易代数及其Hilbert空间的Moyal结构。然后,利用Susskind和Polychronakos提出的办法,我们给出在S~2上描述不可压缩量子Hall流体的非对易陈-Simons理论及其代数结构,同时,我们还讨论了不可压缩量子Hall流体的描述在S~4上的推广。 对非对易Toms T,局限于非对易参数θ=z/n及T的面积A为一整数的情形,通过将T进行n次orbifolding为T_n之后,我们得到了Torus T上的具有n个孤立子的解。然后以这n个孤立子的中心位置z_i作为模空间T~((?)n)/S_n,我们用该模空间的θ函数构造了Hilbert空间H_n的基底,并用Torus上的缠绕W_i生成了代数A_n,它是θ函数上的Z_n×Z_n Heisenberg群。此外,我们还发现了局部椭圆su(n)代数G的生成元g,它是按A_n的整体规范变换进行协变变换的。作用在H_n上,我们建立了A_n和G之间的同构关系。将g嵌入到椭圆Gaudin模型和椭圆Calogero-Moser模型的L-矩阵里,我们就给出了此n孤立于系统的动力学。我们由此扭曲的su_n(T)余切丛的moment map给出了有Fayt-Illiopoulos源的D-方程,由此非对易孤立子的动力学就变成brane的动力学。将非对易孤立子的动力学变量z_i作为模T~((?)n)/S_n,我们用谱曲线det|L(u)-κ|=0的几何位形(κ,u)描述了brane的位形。而且,在量子Hall效应的非对易陈-Simons理论里,具有准粒子源的约束方程也与具有marked点的非对易su_n(T)余切丛的momentmap方程相同。同时,Gaudin模型L-算子的本征函数作为Laughlin波函数也可以用Bethe ansatz方法来求解。 对可积模型,在回顾了一种重要的可积模型-1维SU(n)Hubbard模型的构造后,我们给出了该模型的tetrahedral Zamolodchikov代数,并用此代数证明了该模型R-矩阵所满足的杨-Baxter方程。利用此杨-Baxter方程,我们还得到了一个推广的1维SU(n)Hubbard模型。


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