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中外若干算法的比较研究

甘向阳  
【摘要】:本文在前人研究成果的基础上,选取不定分析算法、插值算法和高次方程数值解算法这三类算法,采用历史分析、算理分析、比较分析等方法进行中国古代与印度、阿拉伯、日本、西方的比较研究。 一、通过系统考察中国古代、印度在不定分析领域贡献的发展历史,认为问题最初提出的形式往往是独特算法形成的关键因素。一个数被两个数除自然得到不定方程(印度),一个数被三个数除则得到同余式组(中国)。前者是后者的特例,但却开辟了数学的新方向。通过对中国、印度和西方在不定分析领域的代表算法——大衍求一术、库塔卡和哥廷根抄本的算法的框图设计和程序实现,认为前两者是成熟的算法,而后者只是试探方法。 二、考察中国古代、印度、阿拉伯、日本的插值算法的发展历史,对比西方Newton、Lagrange等插值算法的来源与成果,认为东方插值的实际背景独特,需要借助实际问题的特点来实现,因而难于作一般性的突破,而牛顿面对的问题却是有一般性的纯粹数学形式的问题,得到的也就是一般性的插值公式。 三、考察中国古代、阿拉伯的高次方程数值解法,比较西方Viete、Newton、Raphson、Horner等的算法,认为增乘开方法的扩(缩)根过程保证了逐位求解,而缺少此过程的Newton法、Horner法每次得到的是解的多位数值,结合估根容易走向连续逼近和发展出迭代解法;增乘开方法的减根过程层次分明,算法特征突出,而Horner法继承Ruffini和Budan的多项式方程的变形技术,达到了同样的效果。 四、在三类算法的具体比较研究之后,本文阐述了算法比较研究的方法论,并对算法分析的发展方向作了展望。


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