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多孔介质方程在广义条件对称和不变集下的精确解

万晖  
【摘要】: 可积的非线性偏微分方程在当前物理和数学领域中是非常热门的研究问题。本篇论文研究的方程是这类方程中的一种:多孔介质方程 f(x)u_t=(g(x)D(u)u_x)_x+h(x)P(u)u_x+q(x)Q(u)其中D(u)是扩散项,P(u)和Q(u)分别是对流项和热源项,它们都是变量u的光滑函数。对于非线性偏微分方程的精确解的研究,到目前为止,方法大致包括:古典对称群方法,条件对称群方法,广义条件对称群方法,直接方法,微分约束法,符号不变量和不变子空间方法,不变集方法等。本文的目的是首先利用广义条件对称方法,讨论多孔介质方程中扩散项D(u)取甜u~m和e~u两种情况,并且变系数取f(x)=1,g(x)≠0,1,h(x)≠0,1,g(x)≠0,1时的精确解,其次利用不变集的方法从四个方面:伸缩不变集,推广的伸缩不变集,旋转不变集和推广的伸缩旋转不变集,讨论多孔介质方程在变系数取f(x)=g(x)=h(x)=g(x)的情况下的精确解。这些精确解对一些物理现象的解释和说明是很有帮助的。


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