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群分支法和泛函分离变量解

廖君华  
【摘要】: 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生命、社会、经济等领域,随着科学的发展,对非线性系统的研究日趋深入,对于描述非线性系统的非线性方程的求解研究成为研究者的重要课题之一。对于线性方程的求解,傅立叶分析和分离变量法是两个非常有效的方法,但对于非线性方程,由于线性叠加原理的失效,还没有办法给出本质上的非线性方程的一般解,虽然一类特解能用一种或几种方法得到,但一种方法通常不能得到各种类型的特解。因此,求解非线性方程没有统一的方法。 众所周知,分离变量法是研究线性偏微分方程最实用、最有效的方法之一。对于非线性偏微分方程,一个自然的问题是是否也存在着泛函分离变量解(FSS)或广义泛函分离变量解(GFSS)?值得我们欣喜的是,在过去的几十年里,有许多的方法被提出来研究泛函分离变量解,其中包括直接方法,几何法,Ansatz-based方法,形式分离变量法,多线性分离变量法等等。 在第二章和第三章中我们主要利用群分支法来分别讨论非线性扩散方程和非线性波动方程的泛函分离变量解,这也正是本文的主要工作。我们通过引入自同构系统令G(x,u)=g(x)h(u)我们分别将方程(2.4)和(3.1)约化为一个关于x的函数和u的函数乘积的多项式,我们的目标就是寻找所有的函数A(x),B(x),g(x),D(u),Q(u),以及h(u)使得方程具有泛函分离变量解


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