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非线性发展方程的势对称及线性化

康静  
【摘要】: 本论文主要研究非线性发展方程组及单方程的势对称以及它们的线性化. 首先,我们研究了一类在土壤学、数学生物和不变曲线流等方面都有广泛应用的非线性扩散方程组u_t=(f(u,v)u_x+p(u,v)v_x)_x,v_t=(g(u,v)v_x+q(u,v)u_x)_x的势对称,即决定函数f(u,v),g(u,v),p(u,v)和q(u,v)使方程组允许势对称.我们通过系统的分类方法得到了一大类允许势对称的这种形式的方程组,并给出了它们的对称群.结果表明,大量的这种形式的方程组都允许势对称,而且许多方程组都允许无穷维的势对称群.于是,我们利用Bluman线性化理论,构造可逆映射将这些允许势对称且其辅助方程组满足该理论条件的非线性扩散方程组的辅助方程组线性化,又由可逆映射生成的非局部映射将原方程组线性化. 其次,我们研究了含n个非线性扩散方程的方程组(?)u_2,…,u_n)u_(jx)]_x,i=1,…,n的线性化.我们推导了其辅助方程组的等价变换,并利用此等价变换将辅助方程组线性化,给出了可用此等价变换线性化的辅助方程组的完全分类.而且由这些等价变换生成的非局部映射将原方程组线性化. 最后,我们研究了二阶和三阶的非线性发展方程u_t=F_1(x,t,u,u_x)u_(xx)+F_2(x,t,u,u_x)和u_t=F_1(x,t,u,u_x,u_(xx)u_(xxx)+F_2(x,t,u,u_x,u_(xx)),对这两种非线性方程构造点变换将它们分别映射成线性的二阶方程u_t=G_1(x)u_(xx)+G_2(x)u_x和三阶方程u_t=G_1(x)u_(xxx)+G_2(x)u_x.这些点变换是变换后的独立变量依赖于变换前的非独立变量,变换后的非独立变量依赖于变换前的独立变量的hodograph型变换,我们对方程和相应的变换做了完全分类.


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