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非线性高阶抛物型偏微分方程

刘小川  
【摘要】: 流体薄膜在表面张力作用下的运动,比如流体薄膜覆盖固体表面的现象,是我们日常生活中经常遇到的。这种现象背后的流体动力学机制主要与表面化学作用有关。如何控制这种相互作用不仅在工业生产中有重要的地位而且近二十年来引起了数学上的许多关注,产生了很多与实际背景相联系的数学问题。本论文首先研究了粘性流体薄膜沿倾斜平面的运动,证明了描述这一运动过程的偏微分方程的解具有有限传播速度的性质;此外还证明了一类固体薄膜运动方程弱解的适定性和有限时间爆破的现象。主要成果如下: 1.考虑流体薄膜方程 这是一个退化的四阶抛物型方程,用来描述粘性流体薄膜沿倾斜平面的运动,其中函数h(x,t)表示流体的厚度;常数α0和β0分别依赖于gsinθ和gcosθ(g是重力加速度,θ∈(0,π/2)是倾斜角);指数n0表示附加在流体/固体界面上的边界条件(n=3表示无滑动切触,n∈(0,3)表示流体的部分滑动切触运动)。利用基于局部熵估计的逼近方法和局部能量方法,证明了当指数n满足4/3≤n2时方程的强解具有有限传播速度的性质,并给出了解的支集的运动速度的上界估计。 在物理上有意义的自由边值问题所具有的一个非常重要的特性就是有限传播速度。我们的结果验证了用来描述上述薄膜运动的方程的确是物理上正确的模型。 2.考虑固体薄膜方程 这是一个非线性一致的六阶抛物型方程,用来描述外延拉紧的固体薄膜当和基底有浸润相交作用时在表面张力驱动下的运动,其中g,p,q是物理常数。我们利用Galerkin逼近方法和能量估计的方法证明了在周期边界条件下方程弱解的存在性,唯一性和正则性;利用第一特征值的方法证明了在Dirichlet边界条件下,当系数g,p,q满足一定条件时,方程弱解的L2范数具有有限时间爆破的现象,并给出了爆破时间的估计。


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