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差分方程的不变子空间

夏亚荣  
【摘要】: 非线性偏微分方程作为数学模型描述出现在物理学,化学,生命科学,信息科学,空间科学,地理科学和环境科学等领域中.其解法以及解的性质等问题是非线性科学的重要组成部分.对于非线性偏微分方程具有许多重要的理论研究和应用研究方向,进行约化求精确解是其中重要的研究方向之一.目前求方程精确解的方法已有很多种,如:齐次平衡法,试探函数法,sine-cosine方法,双曲正切函数展开法,Jacobi椭圆函数展开法,非线性变换法,不变子空间方法等. 本文利用差分方程的不变子空间方法,对短波方程进行了求解,并讨论了算子所允许的多项式类型的子空间,三角函数类型的子空间.第一章我们介绍了本文的研究背景和连续方程的不变子空间方法.第二章,给出了差分方程的基本理论.第三章,第一节利用差分方程的不变子空间方法对短波方程进行了求解,得出了新的精确解,并验证了以下结论:对于多项式类型的子空间,如果算子所允许的子空间中的元素的次数均小于3,则连续方程约化后的动力系统和差分方程约化后的动力系统是一致的,其解也是相同的,但如果算子所允许的子空间中的元素的最高次数是3次或3次以上的,则连续方程约化后的动力系统和差分方程约化后的动力系统是有一定差别的;第二节讨论了三角函数类型的子空间,并将其运用到了拟线性演化方程和方程组验证了如下结果:若已有的微分算子允许三角函数类型的不变子空间,不论该变子空间中元素的最高次数是几次,则对应的差分方程约化后的动力系统与连续方程约化后的动力系统都有一定的差别.


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