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二维不可压缩Navier-Stokes方程若干算法研究

李剑  
【摘要】: Navier-Stokes(N-S)方程是一种典型的非线性方程,其研究对人们认识和控制湍流至关重要.由于人们对非线性现象本质的认识有限,因而数值模拟、理论和实验一起成为十分重要的研究手段.但直接用标准有限元方法求解不可压缩N-S方程,主要考虑如下几个方面的问题:大雷诺数问题、不可压缩条件、非结构化网格、inf-sup条件和非线性问题. 本文主要围绕这些问题提出并实现二维不可压缩流若干数值方法. 关于定常Stokes方程,我们在第三章提出了定常不可压缩流低次等阶元局部高斯积分稳定化方法.这种新稳定化方法区别于其它方法的性质是:稳定项不需要介入稳定化参数,避免高阶导数或者边界积分,稳定在局部单元上操作.对非结构化网格,取得与Taylor-Hood元几乎相同的数值结果.同时,我们分别对局部高斯积分协调有限元稳定化方法、非协调有限元稳定化方法和有限体积元稳定化方法分别进行了理论分析和数值模拟. 第四章,我们关于定常N-S方程提出并实现了四种有限元方法:定常N-S方程局部高斯积分新稳定有限元方法、两层及多层稳定有限元方法、粗网格局部L2投影超收敛方法、Euler时空迭代有限元方法.首先,推广局部高斯积分稳定化方法到定常N-S方程,分析了关于强唯一性条件和奇异解理论下的误差分析和数值模拟.论证了新稳定化方法对于非线性问题依然高效.其次,提出定常N-S方程三种两层方法和多层稳定化方法.此方法采用低次等阶稳定化有限元方法和两层及多层方法可以取得与标准Galerkin有限元相同的收敛速度,但该方法区别于两层及多层方法:高效的低次等阶有限元节省大量的节点,且两层及多层方法粗网格计算非线性稳定化问题且在细网格计算线性问题,因此,可以节省大量的工作量和计算时间.再次,基于ZZ方法和局部L2投影超收敛方法,给出粗网格局部L2投影超收敛方法.此方法区别于其它方法:方法灵活,可对于协调、非协调和间断有限元方法统一处理;研究局部超收敛特征,而不研究点的超收敛,适合于并行;后处理网格只需正则不需一致正则,给自适应网格提供了理论保证;后处理“空间”要求低,也可是函数空间;几乎不依赖于问题(不需苛刻的inf-sup条件).最后,数值实现了最近何银年教授提出的求解具有稍大雷诺数的定常不可压缩流问题Euler时空迭代有限元方法.在小雷诺数情况下,取得与三种经典空间迭代方法相同的结果,且可以快速求解经典空间迭代有限元方法不能解的具有相对较大雷诺数的定常N-S方程. 关于非定常N-S方程,第五章讨论了一些高效的新算法.首先,在H2光滑初值条件下,我们利用低次等阶协调有限元局部高斯积分稳定化方法求解非定常N-S方程,并得出空间离散的优化误差分析.并从数值分析角度,比较了关于低次等阶有限元一些典型的稳定化方法.结果发现此方法优于同类的其它方法.其次,在何银年教授关于二维非定常N-S方程具有两阶时间精度Crank-Nicolson/Adams-Bashforth方法的框架下,本文从理论上进行总结,且数值模拟说明该方法的高效性. Crank-Nicolson/Adams-Bashforth方法取得与无条件稳定的全隐格式相同的稳定性且与两阶时间精度的Crank-Nicolson外推算法相同的收敛性.在全隐格式中需要计算非线性问题,且两阶时间精度Crank-Nicolson外推算法在不适当的边值和边界条件下,容易产生数值震荡,而此种方法不需解非线性问题,只需用三层时间推进求解Stokes方法.


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