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扩展有限元法及其应用中的若干问题研究

苏毅  
【摘要】:固体力学中常常存在两类不连续问题,一类是因材料特性突变引起的弱不连续问题,如双材料问题和夹杂问题;另一类是由物体内部几何突变引起的强不连续问题,如裂纹问题。有限元法在连续介质力学领域取得了空前的成功,然而它的网格依赖性使之在处理不连续问题时表现出明显的局限性。基于单位分解思想的扩展有限元法通过富集结点位移来重构局部的不连续位移场,使得位移逼近函数的形式独立于物理网格划分,在处理不连续问题上表现出较大的优势,具有潜在的发展和应用前景。但是如何选择合适的富集函数精确构造不连续位移场以及如何提高扩展有限元法的计算效率和精度等问题仍需要做进一步的研究。针对以上问题,本文对扩展有限元法和以其为基础发展起来的广义扩展有限元法以及它们在裂纹、界面裂纹、夹杂等不连续性问题应用中的若干问题进行了深入研究。本文的主要工作包含以下两部分:第一部分扩展有限元法和广义扩展有限元法的基础研究。对照有限元法的一般性原理,概述了基于单位分解思想和富集概念的几种新型有限元法(如扩展有限元法和广义有限元法)。扩展有限元法通过增加富集函数来改进有限元位移解空间,可以对不连续问题的某些特征进行重构,通过水平集函数确定不连续问题的几何特性,从而在处理不连续问题上具有明显优势。给出了裂纹及夹杂颗粒问题的富集函数的构造,并基于最小位能原理推导了含裂纹、夹杂颗粒的扩展有限元法离散方程和单元刚度矩阵。研究了扩展有限元法中的混合单元、单元加强、裂纹尖端加强和J积分计算精度等问题,最后通过算例研究了网格密度对扩展有限元法计算精度的影响。八结点等参元较线性单元在工程中更具有应用价值,目前还缺乏对八结点等参元扩展有限元法的研究。为此本文详细推导了八结点等参元扩展有限元法的相应公式,给出了刚度矩阵的积分方案,编写了用于计算含裂纹板裂纹尖端应力强度因子的完整的MATLAB程序,研究了富集区域的选取、网格重构与单元分解的区别、富集结点的编号等问题,计算了典型含裂纹平板裂纹尖端应力强度因子,与采用线性单元的扩展有限元法的结果和解析解进行了对比分析,并进一步研究了网格参数对扩展有限元法结果的影响。结果表明,本文推导的八结点等参元扩展有限元法的相应公式和编制的程序是正确的。鉴于扩展有限元法在处理裂纹问题时不需要重新划分物理网格的优势,本文编写了疲劳裂纹扩展分析的MATLAB程序。该程序利用扩展有限元法计算裂纹尖端应力强度因子,应用最大周向拉应力准则判断裂纹扩展角,应用疲劳裂纹扩展模型计算裂纹扩展增量,计算裂纹扩展寿命。扩展有限元法虽然在处理不连续问题上有很大的优势,但是在计算精度上没有明显的提高,而广义有限元法将结点自由度广义化,通过提高结点插值函数的阶次可以有效提高计算精度。本文结合两者的优势,给出了广义扩展有限元法的基本原理并推导了相应的公式。并将Westergaard裂纹尖端奇异场的基函数作为结点位移插值函数,在插值函数阶次相同的情况下,具有更高的计算精度。给出了单元刚阵数值积分策略和裂纹尖端应力强度因子计算方法,提出了对广义扩展有限元法刚度矩阵重新分析的策略,在裂纹扩展时仅仅需要计算和新的裂纹尖端关联部分的刚度矩阵,通过Cholesky分解计算整体刚度矩阵,大大提高了计算效率。编写了广义扩展有限元法程序。通过典型含裂纹平板的计算,表明本文的广义扩展有限元法计算应力强度因子精度更高,也不需要划分过密的网格。第二部分扩展有限元法和广义扩展有限元法在裂纹、界面裂纹、夹杂等不连续性问题应用中若干问题的研究。研究颗粒增强复合材料中的颗粒对基体裂纹扩展的影响,对颗粒增强复合材料的设计和应用具有重要意义。本文首先推导了用于求解裂纹尖端应力强度因子的相互作用积分表达式,通过定义一个恰当的辅助场使相互作用积分中不含有材料的导数,从而扩大了相互作用积分的应用范围。然后将扩展有限元法和相互作用积分相结合,给出了含颗粒增强复合材料扩展有限元法的位移逼近方程以及相互作用积分的数值离散方法和单元刚度矩阵的积分策略。编写了相应的MATLAB程序,通过模拟颗粒增强板单边裂纹和孔边裂纹的裂纹扩展轨迹,研究了颗粒的弹性模量、位置对基体裂纹尖端应力强度因子或能量释放率的影响。目前,广义扩展有限元法还仅应用于各向同性材料,在双材料界面裂纹中的应用还未见报道。本文应用广义扩展有限元法研究了双材料界面裂纹问题,给出了双材料界面裂纹广义扩展有限元法的位移逼近方程以及相互作用积分的数值离散方法和单元刚度矩阵的积分策略,提出了一种新的双材料界面裂纹尖端富集函数,并通过三角变换将富集函数由12项缩减为6项,进一步提高了计算效率。编写了相应的MATLAB程序,通过数值算例表明本文的广义扩展有限元法计算双材料界面裂纹的应力强度因子是成功和有效的。


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