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几类非线性偏微分方程的行波解及多辛结构研究

杨小锋  
【摘要】:客观世界本质上是非线性的,很多所谓的线性系统,是在某些特定的条件下对非线性系统进行线性近似的结果.只有非线性模型才能从本质上反映和描述客观世界中大量存在的非线性现象,从而揭示这些非线性现象的内在规律和本质.通常,人们用非线性偏微分方程(组)来描述这些非线性系统.如果能得到这些非线性偏微分方程(组)的精确解或者数值解,将有助于理解非线性系统的运动变化规律以及本质特征,对非线性现象做出合理的解释,从而推动数学、物理、力学和工程技术的发展.一方面,就寻求非线性偏微分方程(组)精确解的历史和发展现状而言,已经涌现出了诸如反散射方法、贝克隆变换法、李群方法、首次积分法、Hirota双线性法、齐次平衡法、(G′/G)-展开法、辅助常微分方程方法、雅可比椭圆函数法等.但是,到目前为止对非线性偏微分方程(组)而言,还没有一种可以获得其精确解的普适性方法.探索精确求解非线性偏微分方程(组)的新方法仍然是数学、物理工作者的重要任务.另一方面,对于很多难以获得精确解或者本身就不存在精确解的非线性偏微分方程(组)而言,人们往往借助于数值方法.通常,经典的差分方法、有限元方法、谱方法在短时间内能满足计算精度要求.但是这些经典方法却很难保持非线性系统的内在几何性质,也很难保持长时间的数值稳定性.研究具有长时间数值稳定性并且尽可能保持系统内在几何性质的算法具有重大意义.一般情况下,对非线性偏微分方程(组)而言,人们往往认为精确解法与数值解法之间没有明显的关系.本文主要研究求解几类非线性偏微分方程(组)行波解的技巧和方法,并利用其中一些结果来构造非线性偏微分方程(组)的多辛结构.主要内容包括:1.提出求解非线性偏微分方程(组)行波解的广义黎卡提-伯努利辅助常微分方程方法.该方法将求解非线性偏微分方程(组)转化为求解非线性代数方程组,可以得到一大批非线性偏微分方程(组)的行波解.该方法可将非线性偏微分方程(组)及其修正方程统一求解,使得非线性偏微分方程(组)的求解更一般化,并且可以退化为一般的黎卡提辅助常微分方程方法和一般的伯努利辅助常微分方程方法.2.提出求解非线性偏微分方程(组)行波解的黎卡提-伯努利-椭圆辅助常微分方程方法.该方法将求解非线性偏微分方程(组)转化为求解非线性微分-代数方程组,可以得到一大批非线性偏微分方程(组)的维尔斯特拉斯椭圆函数解、孤立波解、雅可比椭圆函数解,并且还可以退化为经典的(G′/G)-展开法和雅可比椭圆函数法.3.提出待定系数的齐次平衡方法,该方法用于求解非线性偏微分方程(组)的精确解,可以把一大类非线性偏微分方程(组)线性化、(组合)双线性化、齐次化,从而可以得到非线性偏微分方程(组)的组合行波解、N-孤子解、行波解(双曲函数解、三角函数解、有理函数解).利用待定系数的齐次平衡方法,给出广义(2+1)维Nizhnik-Novikov-Veselov方程组的两种组合双线性结构.在此基础上,应用Hirota双线性法得到该方程组两种不同的N-孤子解,并用三波法得到该方程组受特定平凡解影响的显式精确解.4.应用待定系数的齐次平衡法,给出KdV方程、Boussinesq方程、Benjamin-Bona-Mahoney-Camassa-Holm型方程、非线性广义六阶类Boussinesq方程、Boussinesq-Burgers方程组、新哈密尔顿振幅方程的多辛结构以及KdV-Burgers方程和Kuramoto-Sivashinsky方程的广义多辛结构.给出KdV型方程、Boussinesq型方程、Boussinesq-Burgers型方程组的定义及其多辛结构.以KdV方程为例,阐明由变分原理、欧拉-拉格朗日方程与应用T.J.Bridges的方法所得到偏微分方程的多辛结构、多辛守恒律、局部能量守恒律、局部动量守恒律是等价的.应用多辛傅里叶拟谱方法对Kd V型方程和Benjamin-Bona-Mahoney-Camassa-Holm型方程进行数值模拟.数值结果表明该算法具有很高的数值精度、可以保持长时间的数值稳定性、能够保持系统的全局能量和动量.


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