分组密码体制中置换理论的研究

【摘要】： 分组密码是现代密码学中的一个重要研究分支，而置换理论在分组密码的研究与设计中有着重要的地位。本文首先综述了分组密码的发展历程、设计原理，以及置换理论在这个体制设计中的重要作用。接着讨论了置换的密码指标问题，并证明了正形置换是一种密码性能比较良好的置换。最后着重研究了正形置换的表示、构造、计数以及如何将线性正形置换非线性化等问题。上述工作为分组密码中置换理论的研究提供了新的方法、新的思路，并得到了一批好的置换源。本论文的主要工作和取得的研究成果如下： (1) 研究了有限域上的正形置换的密码学性质；并讨论了正形置换与典型分组密码DES之间的关系，计算和分析了DES中所使用的部分置换的密码指标值，指出这些指标与同阶的正形置换在密码性能上接近。 (2) 从数学研究的角度，给出了正形置换的若干性质以及判别方法，为后几章的正形置换的构造与计数做了充分的准备。 (3) 对正形置换的表示问题进行了研究。证明了F_2~n上正形置换与F_(2~n)上的一个次数不超过n-1的正形置换多项式形成一一对应关系。从而给出了正形置换的多项式表示，并证明了F_2~n上的全体正形置换数目一定可以被2~n整除。 (4) 利用矩阵理论对线性正形置换给予了研究。讨论了线性正形置换与正形矩阵之间的关系，给出了正形矩阵的若干性质，求出了正形矩阵的有理标准形；利用对角正形矩阵的特点结合布尔函数构造了一批正形置换，其中包括一类非线性正形置换，得到了2~n阶正形置换在计数方面的一个下界表达式。 (5) 讨论了最大线性正形置换的性质、计数以及如何利用最大线性正形置换来构造非线性正形置换的问题。介绍了利用最大线性正形置换构造非线性正形置换的一个方法，并给出了一个具体的构造实例。利用有限域上的多项式理论解决了最大线性正形置换的计数问题。 摘要 (6)研究了一类特殊的线性正形置换的圈结构及其腐化过程。并利用 构造一类特殊的线性置换的方法，给出了利用多项式理论构造相 应的线性正形置换的方法，并给出了一个实例。论述了腐化后的 非线性正形置换与原线性置换的密码指标之间的关系。 (7)利用有限域上的多项式理论来研究具体的有限域凡上的正形置 换多项式，给出了具体计算有限域上正形置换多项式的过程，得 到了有限域Fs上的正形置换多项式的具体形式及计数。 (8)利用有限域上的多项式理论进一步研究了具体的有限域月。上的 正形置换多项式。介绍了Zeeh算法(也叫Jacobi算法)以及有 限域多项式根的判定方法。证明了在有限域月。不存在次数为2， 3，5，6，7，14次的正形置换多项式，同时还证明了存在次数为 1和4正形置换多项式。从而把有限域月。上的非线性正形置换多 项式次数锁定在{s，9，10，11，12，13}上。